Пусть R - луч, с вершиной в точке P(0; 0) и проходящий через точку (1013; 1001). M - это множество точек с натуральными координатами, не превосходящими 10¹⁶. Луч R начинает вращаться вокруг своей вершины P по часовой стрелке, пока на нём одновременно не окажутся как минимум 3 точки из M.

На какой угол повернулся луч R к этому моменту? В качестве ответа введите абсолютную величину тангенса этого угла.

Перед вами часть обычной шахматной доски и четыре коня на ней - 2 белых и 2 черных.

За какое наименьшее число ходов можно обменять их местами:
черных на места белых и белых на места черных?
Мы не различаем одноцветных коней. В качестве решения дайте последний ход примерно в таком виде: a1 - b3.

Выпишем подряд (по возрастанию) все шестизначные числа, записываемые только цифрами 1, 2, 3, 4, 5 и 6 - повторы разрешены. Какое число будет на 2026-ом месте?

Этой ярмарки краски,
разноцветные пляски,
Деревянные качели, 
расписные карусели.

Раскрашиваем полоску из n клеток, слева направо, тремя цветами: красным, зелёным и синим (каждую клетку – одним цветом).

Обозначим f(n) количество раскрасок полоски, удовлетворяющих следующим условиям:

1. Красных и зелёных клеток – поровну.
2. В процессе раскрашивания красных клеток всегда не меньше чем зелёных.
3. Синих может вовсе не быть.
4. Если синие есть, то длины сплошных участков синих возрастают: первый участок – только одна клетка, второй участок – 2 клетки, и т.д.

На рисунке показаны два примера таких раскрасок (из всего f(8)=15 возможных).

Сколько существует правильных раскрасок полоски длиной 19? А длиной 20? В качестве ответа введите сумму этих двух чисел.