В куб вписан правильный октаэдр наибольшего объёма. В каком отношении вершины октаэдра делят ребра этого куба? В ответе укажите отношение меньшей части к большей.

Гипотрохоида — плоская кривая, образуемая фиксированной точкой, находящейся на фиксированной радиальной прямой окружности, катящейся по внутренней стороне неподвижной окружности. Гипотрохоида задается тремя параметрами: R — радиус неподвижной окружности, r — радиус вращающейся окружности, d — расстояние от фиксированной точки до центра вращающейся окружности. На рисунке приведена гипотрохоида с параметрами R=11, r=7, d=11, которая делит плоскость на 35 частей.

На сколько частей разделит плоскость гипотрохоида с параметрами R = p₁₀₁, r = p₁₀₀, d = p₁₀₁, где p₁₀₀ и p₁₀₁ — простые числа с номерами 100 и 101?

Рассмотрим бесконечную клетчатую плоскость, по линиям сетки которой нарисована спираль шириной в одну клетку, закручивающаяся по часовой стрелке (см рис.).

Имеется игральный кубик с числами 1, 2, 3, 4, 5 и 6 (обозначены точками), в котором сумма очков на противоположных гранях равна 7. Размер грани кубика совпадает с размером клетки плоскости. В начальную клетку спирали поставлен игральный кубик так, что на его верхней грани расположена 1, на передней — 4, на правой — 5. Кубик, перекатываясь через ребро, попадает в следующую клетку по спирали, и так далее, двигаясь по клеткам нарисованной спирали. В каждую клетку спирали вписывается число, расположенное на верхней грани игрального кубика, прокатившегося по ней, и таким образом, задается последовательность: 1, 2, 3, 1, 4, 2, …, в которой a₉=4. Найдите пятизначное число, у которого число единиц равно a₁, число десятков - a₁₀, число сотен – a₁₀₀, число тысяч - a₁₀₀₀, число десятков тысяч - a₁₀₀₀₀.

На плоскости Вася провел 100 параллельных прямых, Петя провел еще 100 прямых. Все эти 200 прямых разделили плоскость на несколько частей. Какое наибольшее число частей могло получиться у них при делении плоскости этими прямыми?

Например, если мальчики провели по две прямые, то плоскость может быть разделена максимум на 10 частей (см. рис.).

В координатной плоскости Oxy расположена парабола y=x². На ось Оy «нанизаны» 13 квадратов так, что две вершины каждого квадрата, лежат на оси параболы, а две другие принадлежат параболе. При этом размеры квадратов подобраны так, что нижние вершины квадратов имеют ординаты 0, 1, 2, 3, … , 12. На сколько частей границы этих квадратов делят внутреннюю часть параболы y=x².

Например, на рисунке показано, что три первых квадрата делят внутреннюю часть параболы y=x² на 13 частей.

Сколько действительных корней имеет уравнение 100 cosx =√x?

Кривая дракона – это рекурсивная ломаная, которая, начиная с единичного отрезка, за каждый шаг итерации удваивает свою длину, путем добавления к себе предыдущей части, повернутой на 90°. На рисунке приведена кривая дракона после шести итераций.

Эта ломаная помещается в наименьший прямоугольник размером 7х11 и площадью 77. Какова площадь наименьшего прямоугольника, в котором помещает кривая дракона после 13 итераций? Рассматриваются прямоугольники, стороны которых параллельны соответствующим звеньям кривой дракона.

Подробней смотрите статью в Википедии «Кривая дракона».

Сколько существует прямоугольных параллелепипедов с целочисленными измерениями, у которых числовые значения площади поверхности и объема равны?

Кривая дракона, петляя по плоскости, иногда образовывает замкнутые клетки, равные единичным квадратам. На рисунке, кривая дракона после шести итераций ограничивает 11 таких клеток.

Сколько таких клеток ограничивает кривая дракона после 13 итераций?

(подробней о кривой дракона см. задачу 2485).

Гирляндой назовем пять единичных квадратов, шарнирно соединенных диагональными вершинами в незамкнутую цепочку, например, пять квадратов нанизанные на нить (на рисунке, слева).

Такие гирлянды легко сворачиваются в фигурки обычного пентамино, например, на рисунке справа показаны I-пентамино и L-пентамино, но можно получить и новые фигурки, как на рисунке самая правая фигурка. Все эти три фигурки отличаются друг от друга положением только одного зеленого квадрата, который поворачивается на угол кратный 90° относительно шарнира. Квадраты могут вращаться вокруг любого своего шарнира. Сколько различных фигурок на клетчатой плоскости можно поочередно сложить из одной гирлянды? Симметричные фигурки и фигурки, полученные поворотом новыми не считаются.