Из спичек сложена фигура «правильной шестиугольной» формы, при этом спички образуют белые и зеленые треугольники. На рисунке приведена одна из таких фигур, у которой на стороне три белых треугольника.

Она сложена из 57 спичек, которые образуют 43 белых и зеленых треугольников. Сколько спичек потребуется, чтобы сложить такую фигуру, в которой 1333 белых и зеленых треугольников суммарно.

Найдите n-угольник, который можно разрезать на пять частей так, что из пяти полученных частей можно сложить:

а) один квадрат;

б) два квадрата;

в) три квадрата;

г) четыре квадрата;

д) пять квадратов.

Уточним, n-угольник во всех случаях один и тот же, способы разрезания могут отличаться и получаемые при этом квадраты не обязательно равные. В ответе укажите наименьшее n.

На плоскости задана квадратная решётка n×n точек. Расстояния между соседними точками равны 1. Нарисованы n² окружностей радиуса 1 с центрами в точках решётки. На сколько частей эти окружности делят плоскость если n = 41.

Например, при n = 3 девять окружностей делят плоскость на 41 часть.

В числовом примере k·ХОД + n·ШАХ = МАТ трехзначные числа записаны буквами русского алфавита, причем разным буквам соответствуют разные цифры, одинаковым буквам – одинаковые цифры. Латинские буквы k и n – это независимые числовые коэффициенты, к ним не относится вышеуказанное условие. Найдите натуральные числа k и n такие, что сумма k + n наибольшая и укажите ее в ответе.

По кругу в некотором порядке расставлены натуральные числа от 1 до 2025.

В каждой паре соседних чисел нашли сумму. Множество этих сумм упорядочили по возрастанию. Оказалось, что в этом множестве есть M подряд идущих натуральных чисел. Найдите наибольшее значение M.