Десятиклеточный самолетик, изображенный на рисунке слева, помещается в прямоугольник 5х4, два таких самолетика помещаются в прямоугольник 8х4, три таких самолетика помещаются в прямоугольник 11х4 (на рисунке в центре и справа).

В какой прямоугольник наименьшего периметра можно поместить 7 таких самолетиков? В ответе укажите периметр этого прямоугольника.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 1 проведен отрезок, соединяющий вершину A куба с центром грани A₁B₁C₁D₁. Этот отрезок начинает непрерывно «скользить» своими концами по двум скрещивающимся диагоналям AC и B₁D₁ противоположных граней куба, не меняя своей длины. Двигаясь таким образом, отрезок задает линейчатую поверхность, изображенную на рисунке. Найдите площадь поверхности.

Полученное значение площади поверхности округлите до десятых и ответ запишите в виде неправильной дроби.

В каждой клетке доски 2х200 лежит по рублевой монете. Даша и Соня играют, делая ходы по очереди, начинает Даша. За один ход можно выбрать любую монету и передвинуть её: Даша двигает монету на соседнюю по диагонали клетку, Соня – на соседнюю по стороне. Если две монеты оказываются в одной клетке, одна из них тут же снимается с доски и достается Соне. Соня может остановить игру в любой момент и забрать все полученные деньги. Найдите, какой наибольший выигрыш она может получить, как бы ни играла Даша.

Окружность проходит через вершины B и C параллелограмма ABCD и касается его высоты AH, проведенной к стороне CD, в точке K. KF – это перпендикуляр, проведенный из точки K к прямой BC. Длины отрезков CH, HD и KF – последовательные натуральные числа, расположенные в возрастающем порядке.  Найдите длину стороны АВ параллелограмма ABCD.

Диагонали правильного 12-угольника разбивают его на части, среди которых есть треугольники и четырехугольники. Найдите отношение числа треугольников к числу четырехугольников.

На плоскости дана прямая L и не параллельный ей отрезок AB, который не имеет общих точек с этой прямой. Построить на плоскости с помощью циркуля и односторонней линейки точку M, равноудаленную от точек A и B и прямой L. За одну операцию можно либо провести прямую, либо провести окружность (дугу окружности). За какое минимальное количество операций можно построить точку М?

На каждом из трех рисунков 1-3 в прямоугольной системе координат Oxy изображены парабола и прямая.

На каком из этих рисунков изображены график квадратного трехчлена и график его производной.

Кубическая решетка из n³ точек, расположенных в форме куба с n точками на ребре, является графом.

Функция f(n) – количество узлов четной степени этого графа. На рисунке показана решетка 3х3х3, в которой черным выделены узлы четной степени, их 13, значит, f(3) = 13. Найдите f(68)/f(8).

Квадрат 11х11 разбит на единичные квадраты, в котором сначала закрашены клетки средней строки и среднего столбца, далее клетки каждой «четвертушки» закрашены так, что чередуются закрашенные и незакрашенные «уголки».

Сколько закрашенных единичных квадратов в закрашенном таким образом квадрате 111х111?

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

(|x – a²| + |x + 25|)² – 31(|x – a²| + |x + 25|) – 62a² + 340 = 0

имеет ровно два различных корня. В ответе укажите сумму всех натуральных значений параметра a.