Дан треугольник ABC.

Дан ещё один треугольник BCD, точки A и D находятся на той же стороне от прямой BC, и углы: CAB=DBC, ACB=BDC.

Дан ещё один треугольник CDE, точки B и E находятся на той же стороне от прямой CD, и углы: DBC=ECD, BDC=CED.

Дан ещё один треугольник DEF, точки C и F находятся на той же стороне от прямой DE, и углы: ECD=FDE, CED=DFE.

И так далее по алфавиту почти до конца: последний треугольник - WXY.

Чему равна длина отрезка AY, если |AB|=1, |BC|=3^1/2, а угол ABC=5π/6?

На стороне BC выпуклого четырёхугольника произвольным образом выбрана точка E. Окружности, вписанные в треугольники ABE, CDE, AED, имеют общую касательную. Найдите длину стороны AD, если AB=32, BC=36, CD=48. В ответе введите сумму минимального и максимального возможных значений.

Дан выпуклый четырехугольник АВСD. Серединные перпендикуляры к диагоналям BD и AC пересекают AD в точках  X и Y соответственно, причем X лежит между А и Y. Оказалось что прямые BX и CY параллельны. Найти угол (в градусах) между BD и АС.

Серединные перпендикуляры к диагоналям BD и АС вписанного четырехугольника АВСD пересекают сторону AD  в точках X и Y соответственно. Пусть М середина ВС и расстояние от М до прямой ВХ = k, а расстояние до прямой СY равно u. Найти отношение k/u. 

Продолжения сторон (AD и BC) и (AB и CD) выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точках E и F соответственно. Для определенности будем считать, что E и F лежат по одну сторону от прямой AC. (см.рис.) Внутри диагонали AC произвольным образом выбрана точка G. Прямые BG || DH || EI || FJ параллельны друг другу, а точки H, I, J являются точками пересечения соответствующих прямых с прямой AC так, что |DH|=a,  |EI|=b, |FJ|=c. Найдите длину отрезка |BG|, если a=9, b=3, c=6.

Рассмотрим полуокружность с центром в точке O и радиусом |AO|=|OB|=17. Внутри отрезка OB произвольным образом выбираем точку C при этом |AO|<|AC|<|AB|. С центром в точке C и радиусом |CB|=|CD| построим еще одну полуокружность. Через точку D проведем прямую, перпендикулярную прямой AB и пересекающуюся с большой полуокружностью в точке D'. В фигурный сектор DD'B вписана окружность с центром в точке I и касающаяся прямой DD' и обеих полуокружностей в точках H, G и F соответственно. (см. рис.)

Проведем прямую через точки С и I, которая пересекается с прямой DD' в точке E. Найдите все возможные случаи, когда длина отрезка |CE| - целое число. В ответ введите сумму найденных вариантов.

В параллелограмме ABCD со стороной AB = 1 точка M — середина стороны BC, а угол AMD составляет 90 градусов. Найдите сторону BC.

Из квадрата вырезали меньший квадрат, одна из сторон которого лежит на стороне исходного квадрата. Периметр полученного восьмиугольника на 40% больше периметра исходного квадрата. На сколько процентов его площадь меньше площади исходного квадрата?

На окружности с центром в т.O выбраны точки A и B так, что угол AOB=90°. На бОльшей дуге AB произвольным образом выбрана точка С (будем считать, что B и С лежат по одну сторону от прямой AO) через которую проведена касательная к нашей окружности. Из точек A и B проведены перпендикуляры к  этой касательной, пересекающие ее в точках D и E соответственно. Причем оказалось, что |AD|=686, а |BE|=252. Найдите радиус окружности |AO|.

Какова вероятность того, что два случайных натуральных числа  являются взаимно простыми, т.е. их наибольший общий делитель равен 1. (Ответ представить в виде округленного до целого значения числа процентов).