Для каждого p можно посчитать количество пифагоровых треугольников с таким периметром. Например для 12 и 24 таких треугольников ровно по одному: (3,4,5) и (6,8,10) соответственно. А для периметра 120 таких треугольников уже 3: (30,40,50), (20,48,52), (24,45,51).

Найдите количество периметров p ≤ 10000000, для которых число различных пифагоровых треугольников с данным периметром является простым.

Каждому числу сопоставим сумму факториалов его цифр.

Например: 15 → 1! + 5! = 121

Среди всех чисел есть числа которым сопоставлены они сами. Например 145 → 1! + 4! + 5! = 145

Если для каждого числа строить цепочку чисел, каждый раз применяя данную операцию, легко показать, что числа начиная с какого-то будут повторяться.

Оказывается что циклов длиной более одного всего 3:

169 → 363601 → 1454 → 169

871 → 45361 → 871

872 → 45362 → 872

Также известно, что для чисел меньше 1000000 цепочки, прежде чем числа начнут повторяться, будут содержать не более 60 членов.

Найдите все цепочки максимальной длины начинающиеся с чисел меньших 1000000. В ответе укажите сумму всех первых значений таких цепочек.

Будем изготавливать из проволоки прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами. Для этого нам потребуется кусок проволоки длиной не менее 12 см, а из двенадцатисантиметрового куска мы сможем согнуть такой треугольник ровно одним способом. Существует бесконечно много чисел, которые могли бы быть периметром прямоугольного треугольника, например:
12 см: (3,4,5)
24 см: (6,8,10)
30 см: (5,12,13)
36 см: (9,12,15)
40 см: (8,15,17)
48 см: (12,16,20)

С другой стороны, если взять проволоку длиной 20, прямоугольный треугольник с целочисленными сторонами из нее не согнешь, а из проволоки длиной 120 см можно сделать три разных треугольника:

120 см: (30,40,50), (20,48,52), (24,45,51)
Какова наименьшая длина проволоки, позволяющая сложить из нее ровно 99 прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами?

Сколько нулей в записи числа 2009!?

Число 32 можно представить в виде суммы нескольких двузначных чисел ровно девятью способами:

10 + 22
11 + 21
12 + 20
13 + 19
14 + 18
15 + 17
16 + 16
10 + 10 + 12
10 + 11 + 11

А сколькими способами можно представить число 100 в виде суммы двузначных слагаемых?

Найти количество всех делителей числа 2²⁰⁰⁹, в десятичной записи которых отсутствует цифра ноль.

Некоторые числа обладают интересным свойством:

1233 = 12² + 33², 990100 = 990² + 100².

Найти наибольшее 8-значное число ABCDEFGH такое, что ABCDEFGH=ABCD²+EFGH².

Попытаемся разложить число 5 в сумму простых:

5 = 5

5 = 2 + 3

5 = 3 + 2

Назовем количеством композиций числа n из простых чисел - количество всех упорядоченных последовательностей простых чисел, в сумме составляющих n. Количество композиций для n = 5: 3, в примере последние две композиции различны.

Назовем количеством разбиений числа n на простые - количество всех неупорядоченных множеств из простых чисел в сумме дающих n. Количество разбиений для n = 5: 2, в примере последние два разбиения считаются одинаковыми.

Найдите минимальное n для которого отношение числа композиций к числу разбиений больше одного миллиарда. В ответе запишите разность числа композиций и разбиений для этого n.

Для каждого натурального n можно найти число раскладываний камней на кучки. Например, для n=5 количество различных раскладываний 7:

ООООО

ОООО О

ООО ОО

ООО О О

ОО ОО О

ОО О О О

О О О О О

Найдите минимальное количество камней, для которого сумма цифр количества различных раскладываний больше 1000.

Одна из систем защиты банковских терминалов устроена следующим образом:

Пользователю сообщается пин-код состоящий из некоторого количества цифр, каждый раз при входе пользователя просят ввести в терминал несколько конкретных символов. Например, для пин-кода 54321 могут попросить ввести 1-й, 3-й и 5-й символы (номера символов всегда возрастают, то есть нужную часть пин-кода можно получить «выкидыванием» оставшихся символов). В этом случае пользователю для авторизации надо ввести '531'. Таким образом просто подсмотрев то, что ввел пользователь злоумышленник не сможет получить доступа. Вам удалось проследить приличное количество авторизаций одного пользователя, хотя Вы и не знаете какие цифры просили вводить. Найдите подходящий пин-код минимальной длины.

Вот лог авторизаций:

'219', '319', '315', '387', '365', '417', '397', '165', '319', '420', '489', '469', '019', '286', '238', '495', '038', '316', '095', '415', '435', '431', '426', '423', '206', '409', '215', '869', '295', '416', '089', '015', '219', '289', '285', '269', '867', '495', '695', '067', '157', '386', '157', '019', '897', '189', '407', '189', '089', '426'