Лист бумаги представляет собой прямоугольник размером M × N, где M и N – натуральные числа. Отметим на его сторонах точки с целочисленными координатами, а затем будем разрезать этот лист, руководствуясь следующими правилами:
1. Каждый разрез представляет собой отрезок, соединяющий отмеченные точки.
2. Разрезы не пересекаются, но могут иметь общие концы, соответствующие отмеченным точкам.
3. Мы будем продолжать делать разрезы, пока не останется кусков, которые можно разрезать, не нарушая правил 1 и 2.
Ясно, что по указанным правилам наш лист можно разрезать несколькими способами. Некоторые из этих способов будут симметричны или отличаться друг от друга только поворотом, но мы будем считать такие способы различными. Пусть F(M,N) – это количество способов, которыми можно разрезать прямоугольный лист размером M × N.
Например, F(1,1)=2, F(1,2)=F(2,1)=6, F(2,2)=30.
Случай M=2, N=2 проиллюстрирован рисунком:

Найдите остаток от деления F(25,35) на 10⁸.

Для натурального числа n найдем такие натуральные x из промежутка 1<x<n, чтобы остаток от деления x³ на n был равен 1. Их сумму обозначим как S(n).
Например, при n=91 мы найдем 8 подходящих значений x, а именно: 9, 16, 22, 29, 53, 74, 79, 81. Поэтому S(91)=9+16+22+29+53+74+79+81=363.

Найдите S(123456789987654321).

Для натурального числа n найдем такие натуральные x из промежутка 1<x<n, чтобы остаток от деления x³ на n был равен 1. Их количество обозначим как C(n).
Например, при n=91 мы найдем 8 подходящих значений x, а именно: 9, 16, 22, 29, 53, 74, 79, 81. Поэтому C(91)=8.

Найдите сумму таких n≤10¹¹, для которых C(n)>100.

Рассмотрим уравнение вида a² + b² = N,  где N- некоторое нечетное натуральное число, и будем искать его натуральные решения (a, b), где a четно, и b нечетно.
При N=65 наше уравнение имеет два таких решения:
a=8, b=1 и a=4, b=7.
Обозначим через S(N) сумму значений a для всех решений уравнения a² + b² = N. Тогда S(65) = 8 + 4 = 12.

Найдите ∑S(N) для всех бесквадратных натуральных N,  имеющих простые делители только вида 4k+1, где k – натуральное число и 4k+1 < 150.

Примечание: бесквадратным (свободным от квадратов) называется натуральное число, которое не делится ни на один квадрат, кроме 1.

Попробуем построить признак делимости для делителя p > 1, взаимно простого с 10. Мы хотим найти для каждого натурального n другое число n₁, которое делится на p тогда и только тогда, когда n делится на p. Два целых числа называются равноделимыми на p, если либо они оба делятся на p, либо оба не делятся. Если b – последняя цифра числа n, и n=10a+b, мы будем искать n₁ в виде:
n₁ = a + b ? m.
Остается найти подходящее значение  m < p, которое будем  называть фактором делимости. Тогда для достаточно больших n мы сможем построить убывающую последовательность равноделимых чисел.
Например, для p=113 фактор делимости равен 34.
При n=76275 получим n₁ = 7627 + 5 * 34 = 7797, и оба числа 76275 и 7797 делятся на 113.
При n=12345 получим n₁ = 1234 + 5 * 34 = 1404, и оба числа 12345 и 1404 не делятся на 113.
Сумма факторов делимости для всех простых p вида 4k+3, не превышающих 1000, равна 19961.
Найдите сумму факторов делимости для всех простых p вида 4k+3, не превышающих 2*10⁷.

Определим уравновешенную статую как полимино, удовлетворяющее следующим требованиям:

• Статуя порядка n состоит из n единичных квадратов — блоков и еще одного квадрата — постамента (всего — n+1 квадрат).
• Центр постамента находится в начале координат (x = 0, y = 0).
• Центры всех блоков имеют положительные координаты y, так что постамент находится ниже остальных квадратов.
• Центр масс уравновешенной статуи имеет нулевую горизонтальную координату x.

Подсчитаем количество различных уравновешенных статуй порядка n. При этом статуи, симметричные друг другу относительно вертикальной оси, будем считать одинаковыми. На рисунке показаны уравновешенные статуи порядка 6. Объединив симметричные, получим 18 различных уравновешенных статуй.

Пусть Z(n) – количество уравновешенных статуй порядка n. Тогда  Z(6)=18, Z(10)=964, Z(15)= 360505.

Найдите ∑Z(n)  для 1 ≤ n ≤ 18.

Определим модифицированную последовательность Коллатца как последовательность натуральных чисел, начинающуюся с числа a₁, а далее задаваемую рекуррентно по следующим правилам:

• a_n+1 = a_n/3, когда a_n делится на 3. Обозначим такой переход от  a_n к a_n+1 символом "D".
• a_n+1 = (4a_n + 2)/3, если a_n дает остаток 1 при делении на 3. Обозначим этот случай символом "U".
• a_n+1 = (2a_n - 1)/3 , если a_n дает остаток 2 при делении на 3.

Обозначим этот случай символом "d".
Последовательность заканчивается первой встретившейся единицей.
Например, при a₁ =231 получим последовательность чисел {231,77,51,17,11,7,10,14,9,3,1} и соответствующую строку символов - "DdDddUUdDD".
Для a₁ =1004064 получим строку символов DdDddUUdDDDdUDUUUdDdUUDDDUdDD, которая начинается с DdDddUUdDD.

Найдите все a₁<10¹⁵, у которых цепочка символов, соответствующая модифицированной последовательности Коллатца, начинается с dDUddDDUUUUUdDDUdUdDUdDUddUDUd.
В качестве ответа укажите их сумму.

Трудолюбивый муравей случайно блуждает по клетчатой доске 5х5, расположенной вертикально. Он начинает свое движение в центре доски, а его траектория состоит из вертикальных и горизонтальных отрезков, соединяющих центры соседних клеток. Направление каждого следующего отрезка он выбирает случайным образом и с равной вероятностью из 2, 3 или 4 возможных вариантов, в зависимости от своего положения.

В начальный момент в каждой из пяти клеток нижнего ряда расположено по одному зерну. Если муравей свободен от ноши, и он оказывается в клетке нижнего ряда, содержащей зернышко, то он его забирает. Если муравей с зерном оказывается в свободной клетке верхнего ряда, то он оставляет зерно в этой клетке.

Работа муравья считается завершенной, когда все зерна перенесены из нижнего ряда в верхний (понятно, что в каждой клетке верхнего ряда окажется по одному зерну).

Какова средняя ожидаемая продолжительность работы муравья, если его путь на одну клетку вниз занимает 1 секунду, на одну клетку вверх – 3 секунды, а на одну клетку вправо или влево по горизонтали – 2 секунды?

Ответ дайте в микросекундах, округлив вниз до целого.

Мы хотим приготовить пиццу круглой формы, состоящую из m?n ломтей-секторов одного размера, но с разной начинкой. У нас есть m≥2 сортов начинки, и каждый сорт мы должны использовать ровно для n ломтей.

Обозначим через f(m,n) количество способов приготовления пиццы, в которой будет ровно n ломтей, заправленных начинкой каждого из m сортов. Поскольку пиццу можно крутить как угодно вокруг вертикальной оси, но нельзя переворачивать начинкой вниз, зеркально симметричные варианты считаются различными, а варианты, отличающиеся только поворотом, предполагаются одинаковыми.

Например, f(2,1)=1,  f(2,2)=f(3,1)=2 и  f(3,2)=16.

Случай f(3,2) показан на рисунке:

Найдите сумму всех f(k,k), не превышающих 10¹⁵.

Трехзначное число 376 в десятичной системе счисления обладает одним интересным свойством: его квадрат заканчивается теми же цифрами 3, 7 и 6, 376² = 141376.Будем называть натуральные числа, обладающие этим свойством, устойчивыми.

Устойчивые числа есть и в других системах счисления. Например, в системе счисления по основанию 14 устойчивым является число c37. Действительно, c37² = aa0c37. Наибольшее 10-значное устойчивое число в 14-ичной системе счисления равно 7337aa0c37. В десятичной записи это число равно 149429406721.

(В 14-ичной системе счисления буквами a, b, c и d мы обозначили цифры 10, 11, 12 и 13, подобно тому, как это делается в 16-ичной системе счисления.)

Найдите наибольшее 10000-значное устойчивое число в 14-ичной системе счисления, переведите его в десятичную систему, а в качестве ответа укажите 8 младших десятичных цифр.