Определим уравновешенную статую как полимино, удовлетворяющее следующим требованиям:

• Статуя порядка n состоит из n единичных квадратов — блоков и еще одного квадрата — постамента (всего — n+1 квадрат).
• Центр постамента находится в начале координат (x = 0, y = 0).
• Центры всех блоков имеют положительные координаты y, так что постамент находится ниже остальных квадратов.
• Центр масс уравновешенной статуи имеет нулевую горизонтальную координату x.

Подсчитаем количество различных уравновешенных статуй порядка n. При этом статуи, симметричные друг другу относительно вертикальной оси, будем считать одинаковыми. На рисунке показаны уравновешенные статуи порядка 6. Объединив симметричные, получим 18 различных уравновешенных статуй.

Пусть Z(n) – количество уравновешенных статуй порядка n. Тогда  Z(6)=18, Z(10)=964, Z(15)= 360505.

Найдите ∑Z(n)  для 1 ≤ n ≤ 18.

Определим модифицированную последовательность Коллатца как последовательность натуральных чисел, начинающуюся с числа a₁, а далее задаваемую рекуррентно по следующим правилам:

• a_n+1 = a_n/3, когда a_n делится на 3. Обозначим такой переход от  a_n к a_n+1 символом "D".
• a_n+1 = (4a_n + 2)/3, если a_n дает остаток 1 при делении на 3. Обозначим этот случай символом "U".
• a_n+1 = (2a_n - 1)/3 , если a_n дает остаток 2 при делении на 3.

Обозначим этот случай символом "d".
Последовательность заканчивается первой встретившейся единицей.
Например, при a₁ =231 получим последовательность чисел {231,77,51,17,11,7,10,14,9,3,1} и соответствующую строку символов - "DdDddUUdDD".
Для a₁ =1004064 получим строку символов DdDddUUdDDDdUDUUUdDdUUDDDUdDD, которая начинается с DdDddUUdDD.

Найдите все a₁<10¹⁵, у которых цепочка символов, соответствующая модифицированной последовательности Коллатца, начинается с dDUddDDUUUUUdDDUdUdDUdDUddUDUd.
В качестве ответа укажите их сумму.

Трудолюбивый муравей случайно блуждает по клетчатой доске 5х5, расположенной вертикально. Он начинает свое движение в центре доски, а его траектория состоит из вертикальных и горизонтальных отрезков, соединяющих центры соседних клеток. Направление каждого следующего отрезка он выбирает случайным образом и с равной вероятностью из 2, 3 или 4 возможных вариантов, в зависимости от своего положения.

В начальный момент в каждой из пяти клеток нижнего ряда расположено по одному зерну. Если муравей свободен от ноши, и он оказывается в клетке нижнего ряда, содержащей зернышко, то он его забирает. Если муравей с зерном оказывается в свободной клетке верхнего ряда, то он оставляет зерно в этой клетке.

Работа муравья считается завершенной, когда все зерна перенесены из нижнего ряда в верхний (понятно, что в каждой клетке верхнего ряда окажется по одному зерну).

Какова средняя ожидаемая продолжительность работы муравья, если его путь на одну клетку вниз занимает 1 секунду, на одну клетку вверх – 3 секунды, а на одну клетку вправо или влево по горизонтали – 2 секунды?

Ответ дайте в микросекундах, округлив вниз до целого.

Мы хотим приготовить пиццу круглой формы, состоящую из m?n ломтей-секторов одного размера, но с разной начинкой. У нас есть m≥2 сортов начинки, и каждый сорт мы должны использовать ровно для n ломтей.

Обозначим через f(m,n) количество способов приготовления пиццы, в которой будет ровно n ломтей, заправленных начинкой каждого из m сортов. Поскольку пиццу можно крутить как угодно вокруг вертикальной оси, но нельзя переворачивать начинкой вниз, зеркально симметричные варианты считаются различными, а варианты, отличающиеся только поворотом, предполагаются одинаковыми.

Например, f(2,1)=1,  f(2,2)=f(3,1)=2 и  f(3,2)=16.

Случай f(3,2) показан на рисунке:

Найдите сумму всех f(k,k), не превышающих 10¹⁵.

Сколько существует 18-значных натуральных чисел n, таких, что сумма цифр n равна сумме цифр числа 137n?

Для натурального числа k обозначим через d(k) сумму его десятичных цифр. Например, d(42) = 4+2 = 6.

Обозначим через S(n) количество натуральных чисел k < 10ⁿ, таких что 

• k делится на 69;
• d(k) = 69. 

Можно подсчитать, что S(9) = 5464, и S(20) = 36035277144875036.

Найдите остаток от деления S(20¹²) на 10⁹.

В сильно  упрощенной модели белки можно рассматривать как цепочки гидрофобных (H) и полярных (P) элементов, например HHPPHHHPHHPH.

В этой задаче мы будем считать, что ориентация белка существенна, то есть белки HPP и PPH мы будем считать различными, а количество белков из n элементов будет равно 2ⁿ.

Гидрофобные элементы притягиваются друг к другу, и белок принимает наиболее энергетически выгодную конфигурацию так, чтобы максимизировать количество связей H-H. 

Поэтому элементы H часто находятся внутри белка, а элементов P больше снаружи. Конечно, настоящие белки имеют трехмерные конфигурации, но мы еще несколько упростим модель, ограничившись двумя измерениями и предполагая, что звенья цепочки занимают места в клетках квадратной решетки.

На рисунке показаны две конфигурации одного белка (связи H-H отмечены красными точками)

В конфигурации слева сформировалось всего лишь 6 связей H-H, поэтому такая конфигурация энергетически невыгодна и не может встретиться в природе.

Правая конфигурация имеет девять связей H-H, и это максимальное значение для такой цепочки. Будем называть оптимальными те конфигурации, которые обеспечивают максимальное количество связей H-H для данной цепочки.

77 из 256 восьмиэлементных цепочек в оптимальной конфигурации имеют более 4 связей H-H.

Сколько цепочек, состоящих из 15 элементов, в оптимальной конфигурации будут иметь более 9 связей H-H?

Назовем натуральное число n мощным, если для его любого простого делителя p число n делится также на p².

Назовем натуральное число n точной степенью, если оно является степенью другого натурального числа.

Назовем натуральное число n ахиллесовым, если оно мощное, но не является точной степенью. Например, числа 864 = 2⁵•3³ и 1800 = 2³•3²•5² — ахиллесовы.

Назовем натуральное число S сильно ахиллесовым, если и S, и φ(S) — ахиллесовы.  Здесь φ(S) означает функцию Эйлера. 

Например, число 864 — сильно ахиллесово число, поскольку φ(864) = 288 = 2⁵•3², а число 1800 — ахиллесово, но не сильно ахиллесово, так как φ(1800) = 480 = 2⁵•3¹•5¹.

Существует 2 трехзначных и 5 четырехзначных сильно ахиллесовых чисел, а восьмизначных насчитывается 396.

Найдите количество 18-значных сильно ахиллесовых чисел.

Рассмотрим бесконечную строку S, состоящую из записанных подряд натуральных чисел в десятичной записи:

S =1234567891011121314151617181920212223242...

Ясно, что десятичная запись каждого натурального числа n встретится в строке S бесконечно много раз. Будем отмечать, где именно встретились такие вхождения. Например, число 12 первый раз встретится, начиная с позиции 1 строки S, а второй раз — с позиции 14, и так далее.

Обозначим через f(n) номер позиции в строке S, с которого начинается n-ое вхождение числа n. Например, f(1)=1, f(5)=81, f(11)=235, а f(7780)=111111365.

Найдите ∑f(11^k), где 1≤k≤6.

Рассмотрим игру для двух участников. Игровое поле представляет собой полоску из n клеток белого цвета. Ходы совершают по очереди. Каждым ходом игрок должен закрасить любые две соседние белые клетки. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

• При n=1 первый игрок автоматически проигрывает, поскольку не может сделать ни одного хода.
• При n=2 есть только один ход, который автоматически ведет к победе.
• При n=3 первый игрок может выбрать один из двух различных ходов, и оба они ведут к немедленной победе.
• При n=4 есть три варианта хода. Среди них есть один выигрышный ход, когда игрок закрашивает две средние клетки.
• При n=5 есть четыре варианта хода (они показаны на рисунке красным цветом), но все они ведут к поражению: второй игрок (показан синим цветом) всегда может выиграть.

Таким образом, первые три значения n, при которых первый игрок выигрывает – это 2,3 и 4, а первые два проигрышных значения – это 1 и 5. Третье проигрышное значение n=9, десятое: n=43.

Найдите миллионное значение n, при котором второй игрок всегда может победить.