Лента событий:
MikeNik
добавил решение задачи
"Линейка и окружность"
(Математика):
Пожалуйста, не пишите нам, что вы не можете решить задачу.
Если вы не можете ее решить, значит вы не можете ее решить :-)
Задачу решили:
5
всего попыток:
6
Рассмотрим многочлен N(p,q) = ΣTn*pn, где p, q - натуральные числа, сумма берется для 0≤n≤q, а коэффициенты Tn получены с помощью генератора случайных чисел:
Задачу решили:
0
всего попыток:
1
Обозначим через C(x,y) окружность, проходящую через точки (x, y), (x,y+1), (x+1,y) и (x+1,y+1). Обозначим через E(m,n) объединение m×n окружностей C(x,y), где 0≤x<m, 0≤y<n, а x, y, m и n – целые числа. Эйлеровым циклом на E(m,n) называется замкнутый путь, включающий каждую дугу каждой окружности ровно один раз. В этой задаче мы будем рассматривать только те эйлеровы циклы, которые не имеют самопересечений. При этом участки цикла могут касаться друг друга в точках с целыми координатами, но не должны пересекаться. На рисунке показан пример эйлерова цикла без самопересечений на E(3,3). Обозначим через L(m,n) количество эйлеровых циклов без самопересечений на E(m,n). Например, L(1,2) = 2, L(2,2) = 37 и L(3,3) = 104290. Найдите остаток от деления L(6,13) на 613.
Задачу решили:
10
всего попыток:
11
Назовем простое число p числом Панаитопола (Panaitopol), если его можно представить в виде p = (x4-y4)/(x3+ y3), где x и y — натуральные числа. Найдите последние 8 цифр суммы чисел Панаитопола, не превышающих 5×1015.
Задачу решили:
3
всего попыток:
3
Рассмотрим две окружности, у которых и центры, и точки пересечения имеют целочисленные координаты. Выпуклую область, ограниченную такой парой окружностей будем называть линзой, если она не имеет внутренних точек с целочисленными координатами. Радиусы окружностей, ограничивающих линзу, назовем радиусами линзы. На рисунке ниже показаны следующие окружности: C0: x2+y2=25 Линзы, заключенные между окружностями C0 и C1 и между C0 и C2, закрашены красным. Обозначим через L(N) количество различных пар чисел (r1,r2), для которых существует линза с радиусами r1 и r2, и 0<r1≤ r2≤ N. Можно проверить, что L(10) = 30 и L(100) = 3442. Найдите Σ L(10k), где 1 ≤ k ≤ 5.
Задачу решили:
5
всего попыток:
6
Рассмотрим треугольник ABC с целочисленными сторонами. Пусть k – биссектриса угла ACB, m – касательная в точке C к окружности, описанной вокруг ABC, а прямая n проведена через точку B параллельно m. Прямые k и n пересекаются в точке E, как показано на рисунке: Сколько существует треугольников ABC со сторонами BC ≤AC ≤AB≤ 30000, для которых длина BE оказывается целым числом?
Задачу решили:
4
всего попыток:
4
Как известно, каждый член последовательности Фибоначчи является суммой предыдущих двух. Начав с чисел 1 и 2, получим последовательность 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89… Каждое натуральное число может быть единственным образом записано в виде суммы некоторого набора различных чисел Фибоначчи, не содержащего пары соседних чисел Фибоначчи. Например, 100 = 3 + 8 + 89. Такую сумму называют представлением Цекендорфа. Обозначим через z(n) число слагаемых в представлении Цекендорфа для натурального числа n. Тогда z(5)=1, z(14)=2, z(100)=3. ∑z(n) для всех шестизначных n равна 7236250. Найдите ∑z(n) для всех 17-значных n.
Задачу решили:
2
всего попыток:
5
Лёва и Петя поспорили, у кого лучше память, и решили проверить. Для этого они обзавелись генератором случайных чисел, настроили его на получение случайных чисел от 1 до 10 и стали соревноваться, кто больше чисел запомнит. По условию игры участник получает очко, если очередное число все еще хранится в его памяти. Побеждает тот, кто набрал больше очков. По ходу дела выяснилось, что и Лёва, и Петя могут удержать в голове не более пяти разных чисел. Если игрок уже помнит пять чисел, то чтобы запомнить следующее, не содержащееся к этому моменту в его памяти, он вынужден забыть одно из имеющихся. Однако оказалось, что забывание происходит несколько по-разному:
В начале соревнования память игроков свободна. Вот пример начала игры:
Обозначим количество очков, которые Лёва и Петя набрали после 50 туров через L и P, соответственно. Найдите математическое ожидание величины (L-P)2, результат умножьте на 108 и округлите до ближайшего целого.
Задачу решили:
2
всего попыток:
2
На плоскости даны четыре точки с целочисленными координатами: A(a, 0), B(b, 0), C(0, c) и D(0, d), где 0 < a < b и 0 < c < d. Точка P(x,y) с целочисленными координатами выбрана на отрезке AC так, что треугольники ABP, CDP и BDP оказываются подобными.
Легко показать, что при этом a=c=x+y. Поэтому, задав подходящим образом четверку чисел (x,y,b,d), мы однозначно определим размер и положение наших треугольников. Например, четверки (x,y,b,d)=(1,1,3,4) и (x,y,b,d)=(1,1,4,3) обе удовлетворяют указанным условиям: каждая из них задает три подобных треугольника. Мы будем считать различными такие четверки, отвечающие взаимно симметричным конфигурациям. При b+d<100 существует 110 различных четверок, задающих три подобных треугольника. При b+d<100 000 существует 395662 различных четверок, задающих три подобных треугольника. Сколько существует различных четверок, задающих три подобных треугольника при b+d<100 000 000?
Задачу решили:
6
всего попыток:
7
В сильно упрощенной модели белки можно рассматривать как цепочки гидрофобных (H) и полярных (P) элементов, например HHPPHHHPHHPH. В этой задаче мы будем считать, что ориентация белка существенна, то есть белки HPP и PPH мы будем считать различными, а количество белков из n элементов будет равно 2n. Гидрофобные элементы притягиваются друг к другу, и белок принимает наиболее энергетически выгодную конфигурацию так, чтобы максимизировать количество связей H-H. Поэтому элементы H часто находятся внутри белка, а элементов P больше снаружи. Конечно, настоящие белки имеют трехмерные конфигурации, но мы еще несколько упростим модель, ограничившись двумя измерениями и предполагая, что звенья цепочки занимают места в клетках квадратной решетки. На рисунке показаны две конфигурации одного белка (связи H-H отмечены красными точками)
В конфигурации слева сформировалось всего лишь 6 связей H-H, поэтому такая конфигурация энергетически невыгодна и не может встретиться в природе. Правая конфигурация имеет девять связей H-H, и это максимальное значение для такой цепочки. Будем называть оптимальными те конфигурации, которые обеспечивают максимальное количество связей H-H для данной цепочки. 77 из 256 восьмиэлементных цепочек в оптимальной конфигурации имеют более 4 связей H-H. Сколько цепочек, состоящих из 15 элементов, в оптимальной конфигурации будут иметь более 9 связей H-H?
Задачу решили:
14
всего попыток:
17
Для каждого натурального числа n определим f(n) как наименьшее натуральное число, кратное n, десятичная запись которого состоит из нулей, двоек и троек. Например, f(1)=2, f(3)=3, f(4)=f(5)=f(10)=20, f(7)=203, f(9)=333, f(89)= 20203. Можно подсчитать, что f(1)/1 + f(2)/2 + f(3)/3+ ... + f(100)/100 = 19443 Найдите f(1)/1 + f(2)/2 + f(3)/3+ ... + f(10000)/10000
Внимание! Если Вы увидите ошибку на нашем сайте, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.
|