img img img img img img img img img img img img img img img img img img img img img img
Логотип Человек живет, пока думает.
Решайте задачи и живите долго!
Для участия в проекте необходимо
и достаточно зарегистрироваться!
Rss Регистрация || Вход
Вход
Diofant.ru
Картинка
Отражение Отражение Картинка Картинка
Рисунок
Rss

Задачи: Информатика   

Пожалуйста, не пишите нам, что вы не можете решить задачу.
Если вы не можете ее решить, значит вы не можете ее решить :-)
Показывать на странице:
Задачу решили: 2
всего попыток: 2
Задача опубликована: 18.07.11 08:00
Прислал: admin img
Источник: Проект "Эйлер" (http://projecteuler.net)
Вес: 1
сложность: 2 img
баллы: 100
Темы: алгоритмыimg
Лучшее решение: TALMON (Тальмон Сильвер)

В игру "Погоня" играет четное количество игроков за круглым столом двумя игральными костями.
В начале игры два игрока, сидящие друг напротив друга, получают каждый по кости. Каждую секунду игроки, получившие кость, делают ход. Для этого они одновременно бросают кубик, и если выпадает 1, они передают кость соседу слева, а если выпадет 6 – соседу справа. В остальных случаях кубик остается у игрока до следующего хода. Игра заканчивается, когда оба кубика после очередного хода окажутся у одного игрока. Этот игрок считается проигравшим.
Однажды за стол сели играть 100 игроков. Их перенумеровали подряд по часовой стрелке. Спустя некоторое время кубики оказались у игроков № 33 и № 77.
Каково ожидаемое время до конца игры?
Ответ дайте в миллисекундах, округлив его до целого.

Задачу решили: 10
всего попыток: 13
Задача опубликована: 22.08.11 08:00
Прислал: admin img
Источник: Проект "Эйлер" (http://projecteuler.net)
Вес: 1
сложность: 2 img
баллы: 100
Лучшее решение: Oleg (Олег Пилипёнок)

Рассмотрим число
G(n) = (n2)!/(n!)n,
где n – натуральное. Несложно показать, что G(n) – тоже натуральное число.
Например, G(3)=1680. Разложим 1680 на простые множители, а затем их сложим:

1680=24×3×5×7=2×2×2×2×3×5×7,
и
2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 5 +7 = 23.
Таким образом, сумма простых множителей числа G(3) равна 23.

Найдите сумму простых множителей числа G(4444).

Задачу решили: 2
всего попыток: 5
Задача опубликована: 22.10.12 08:00
Прислал: admin img
Источник: Проект "Эйлер" (http://projecteuler.net)
Вес: 1
сложность: 2 img
баллы: 100
Темы: алгоритмыimg

Лёва и Петя поспорили, у кого лучше память, и решили проверить. Для этого они обзавелись генератором случайных чисел, настроили его на получение случайных чисел от 1 до 10 и стали соревноваться, кто больше чисел запомнит. По условию игры участник получает очко, если очередное число все еще хранится в его памяти. Побеждает тот, кто набрал больше очков.

По ходу дела выяснилось, что и Лёва, и Петя могут удержать в голове не более пяти разных чисел. Если игрок уже помнит пять чисел, то чтобы запомнить следующее, не содержащееся к этому моменту в его памяти, он вынужден забыть одно из имеющихся. Однако оказалось, что забывание происходит несколько по-разному:

  • Лёва забывает то число, которое не выдавалось генератором наиболее продолжительное время
  • Петя забывает то число, которое первым попало в память.

В начале соревнования память игроков свободна.

Вот пример начала игры:

Тур

Очередное число

Память Лёвы

Очки Лёвы

Память Пети

Очки Пети

1

1

1

0

1

0

2

2

1,2

0

1,2

0

3

4

1,2,4

0

1,2,4

0

4

6

1,2,4,6

0

1,2,4,6

0

5

1

1,2,4,6

1

1,2,4,6

1

6

8

1,2,4,6,8

1

1,2,4,6,8

1

7

10

1,4,6,8,10

1

2,4,6,8,10

1

8

2

1,2,6,8,10

1

2,4,6,8,10

2

9

4

1,2,4,8,10

1

2,4,6,8,10

3

10

1

1,2,4,8,10

2

1,4,6,8,10

3

Обозначим количество очков, которые Лёва и Петя набрали после 50 туров через L и P, соответственно. Найдите математическое ожидание величины (L-P)2, результат умножьте на 108 и округлите до ближайшего целого.

Задачу решили: 2
всего попыток: 3
Задача опубликована: 31.12.12 08:00
Прислал: admin img
Источник: Проект "Эйлер" (http://projecteuler.net)
Вес: 1
сложность: 2 img
баллы: 100
Темы: алгоритмыimg

 

Английский математик Джон Хортон Конвей изобрел множество математических развлечений, доставляющих не только удовольствие, но и пищу для серьезных размышлений. Одно из его изобретений – язык программирования FRACTRAN, о котором пойдет речь в данной задаче.

Память данных виртуальной машины языка FRACTRAN содержит одно единственное целое число, а программа представляет собой упорядоченную последовательность рациональных дробей. На каждом шаге выполнения программы машина просматривает эти дроби одну за другой слева направо и умножает каждую из них на число из памяти, пока произведение не окажется целым. Полученное целое число записывают в память вместо предыдущего. 

Вот, например, FRACTRAN-программа, предложенная Конвеем для получения последовательности простых чисел:

17/91, 78/85, 19/51, 23/38, 29/33, 77/29, 95/23, 77/19, 1/17, 11/13, 13/11, 15/2, 1/7, 55/1.

Записав в память исходное значение 2, получим в памяти ряд чисел в следующей последовательности:

15, 825, 725, 1925, 2275, 425, 390, 330, 290, 770, 910, 170, 156, 132, 116, 308, 364, 68, 4, 30, ..., 136, 8, 60, ..., 544, 32, 240, ...

Оказывается, степени двойки в полученной последовательности встречаются только с простыми показателями: 22, 23, 25, ..., и можно проверить, что данная последовательность будет содержать в порядке возрастания все степени двух с простыми показателями.

Заметим, что для получения 22 из исходного числа 2 потребовалось 19 шагов программы, и при этом три раза происходило умножение на дробь 13/11.

А сколько раз придется выполнить умножение на 13/11 при переходе от исходного числа 2 к 2111119?

 

 

Задачу решили: 4
всего попыток: 4
Задача опубликована: 18.03.13 08:00
Прислал: admin img
Источник: Проект "Эйлер" (http://projecteuler.net)
Вес: 1
сложность: 2 img
баллы: 100
Лучшее решение: Shamil

Обозначим через N(i) наименьшее натуральное число n,  факториал которого n! делится на (i!)1234567890 .

Сумма N(i) для всех составных натуральных i, не превышающих 1000, равна 520804933959105.

Найдите сумму N(i) для всех составных натуральных i, не превышающих 1 000 000. В качестве ответа укажите 18 младших разрядов результата.

Задачу решили: 1
всего попыток: 4
Задача опубликована: 20.05.13 08:00
Прислал: admin img
Источник: Проект "Эйлер" (http://projecteuler.net)
Вес: 2
сложность: 3 img
баллы: 100
Темы: алгоритмыimg

Широко известна игра, где один из участников задумывает целое число, а другой пытается его угадать, задавая вопросы. В этой задаче исследуется вариант такой игры, когда задумывают натуральное число из промежутка [1,n], а в качестве вопросов разрешается называть натуральные числа из этого же интервала. При этом стоимость каждого вопроса равна названному числу. Допускаются ответы трех видов:

  1. Ты назвал число меньше задуманного.
  2. Ты угадал!
  3. Ты назвал число больше задуманного.

Требуется определить  задуманное число и при этом минимизировать суммарную стоимость вопросов (в дальнейшем – цена игры). Для данного числа n назовем стратегию оптимальной, если она минимизирует цену игры для самого неудачного задуманного числа.

Например, при n=3 наилучшим первым ходом будет число "2". После этого при любом ответе можно будет точно определить задуманное число, поэтому больше вопросов не потребуется, и цена игры будет равна 2.

Если n=8, мы могли бы выбрать в качестве стратегии "бинарный поиск". Если первым ходом мы назовем число "4", а задуманное число будет больше, чем 4, нам потребуется еще два вопроса. Пусть вторым ходом мы называем число "6". Если задуманное число больше, чем 6, нам потребуется еще один ход, скажем, "7", и цена игры составит 4+6+7=17.

Мы можем существенно улучшить нашу стратегию для n=8, если первым ходом назовем число "5". Если задуманное число больше, чем 5, то вторым ходом мы можем назвать число "7", и этого будет достаточно для нахождения задуманного. Тогда цена игры составит 5+7=12. Если же задуманное число меньше, чем 5, то для его определения достаточно  вторым и третьим ходом назвать "3" и "1", а цена игры составит 5+3+1=9. Поскольку 12 > 9, в худшем случае цена игры при этой стратегии будет равна 12. Получается, что данная стратегия более выгодна, чем предыдущая, и оказывается, что она оптимальна, то есть никакая другая стратегия не может гарантировать для n=8 результат меньший, чем 12.

Пусть C(n) – максимальная цена игры, которая может получиться для оптимальной стратегии в худшем случае. 

Тогда C(1) = 0, C(2) = 1, C(3) = 2 и C(8) = 12.

Можно подсчитать, что  C(100) = 400.

Найдите С(500000).

 
Задачу решили: 0
всего попыток: 0
Задача опубликована: 10.06.13 08:00
Прислал: admin img
Источник: Проект "Эйлер" (http://projecteuler.net)
Вес: 1
сложность: 2 img
баллы: 100

На каждую клетку доски N×N положили по шашке, окрашенной в белый цвет с одной стороны и в черный цвет с другой.

Каждым ходом разрешается перевернуть одну шашку, а вместе с нею N-1 шашек, стоящих  на одной с ней вертикали, и N-1 шашек, стоящих  на одной с ней горизонтали. Таким образом, каждым ходом игрок должен перевернуть 2×N-1 шашку. Игра заканчивается, когда все шашки будут стоять белой стороной вверх. Ниже приведен пример игры для доски 5×5.

eu331.gif  

Несложно проверить, чтобы закончить игру из данной начальной позиции, нужно как минимум 3 хода.

Пусть строки и столбцы перенумерованы целыми числами от 0 до N-1.

Построим на доске N×N начальную конфигурацию CN. Для этого на клетку с координатами x и y положим шашку черной стороной вверх, если (N-1)2≤x2+y2<N2, и белой стороной вверх в противном случае. Конфигурацию C5 мы видели в приведенном примере.

Пусть T(N) – минимальное количество ходов, необходимых для окончания игры из начального положения CN (если это невозможно T(N) = 0).

Ясно , что T(1)=T(2)=1. Мы видели, что T(5)=3. Можно проверить, что T(10)=29, а T(1000)=395253.

Найдите сумму T(k!) для 1≤k≤12.

 
Задачу решили: 2
всего попыток: 9
Задача опубликована: 24.06.13 08:00
Прислал: admin img
Источник: Проект "Эйлер" (http://projecteuler.net)
Вес: 1
сложность: 1 img
баллы: 100

Любое натуральное число может быть разбито на слагаемые вида 2i×3j, где i,j ≥0, но в этой задаче мы будем рассматривать лишь те разбиения, у которых ни одно слагаемое не кратно другому. В дальнейшем будем называть такие разбиения специальными.

Например, разбиение числа 17 = 2 + 6 + 9 = (21×30 + 21×31 + 20×32) не будет специальным, поскольку 6 кратно 2. Разбиение 17 = 16 + 1 = (24×30 + 20×30) тоже не специальное, так как 16 кратно 1. У числа 17 есть только одно специальное разбиение, а именно 8 + 9 = (23×30 + 20×32).

Некоторые числа имеют несколько специальных разбиений. Например, число 11 имеет два специальных разбиения:

11 = 2 + 9 = (21×30 + 20×32

11 = 8 + 3 = (23×30 + 20×31)

Обозначим через P(n) количество специальных разбиений числа n. Так, P(11) = 2.

Можно подсчитать, что сумма простых чисел q<100, для которых P(q)=2 равна 641.

Найдите сумму простых q < 1000000, для которых P(q)=2.

Задачу решили: 6
всего попыток: 8
Задача опубликована: 23.09.13 08:00
Прислал: admin img
Источник: Проект "Эйлер" (http://projecteuler.net)
Вес: 1
сложность: 3 img
баллы: 100

Рассмотрим нечетное число 225 = 32 × 52.
2252 = 50625 = 34 × 54 = 92 × 252. Поэтому функция Эйлера φ(50625) = 2 × 33 × 4 × 53 = 23 × 33 × 53 .
Итак, число  50625 является квадратом, а φ(50625) является кубом.
Найдите сумму нечетных n, 1 < n < 1010 , для которых функция Эйлера φ(n2) является кубом натурального числа.

Задачу решили: 8
всего попыток: 9
Задача опубликована: 28.10.13 08:00
Прислал: admin img
Источник: Проект "Эйлер" (http://projecteuler.net)
Вес: 1
сложность: 1 img
баллы: 100
Лучшее решение: MakcuM (Максим Владимирович)

В этой задаче мы будем рассматривать натуральные числа, имеющие ровно три простых делителя. Например, число 240 имеет простые делители 2,3 и 5. Это наибольшее число, не превышающее 250, имеющее эти три простых делителя и не имеющее других.

Для различных простых чисел p, q и r обозначим через M(p,q,r,N) наибольшее натуральное число, не превышающее N, которое делится на p, q и r, но не имеет других простых делителей. Если таких чисел нет, будем считать, что M(p,q,r,N)=0.

Например:

  • M(2,3,5,250)=240.
  • M(2,3,7,250)=168, а не 210, поскольку число 210 имеет 4 простых делителя.
  • M(3,7,13,250)=0, поскольку нет натуральных чисел, не превышающих 250, которые делятся на 3, 7 и 13.

Пусть S(N) – сумма различных значений M(p,q,r,N) для всех сочетаний p, q и r. Так, S(250)= 4588.

Найдите  S(10 000 000).

 
Внимание! Если Вы увидите ошибку на нашем сайте, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.