В шестнадцатеричной системе счисления числа представляют с помощью 16 цифр:

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

Шестнадцатеричная запись AF соответствует десятичному числу 10x16+15=175.
В трехзначных шестнадцатеричных числах AA0 и A0A цифра 0 использована 1 раз, а цифра A - 2 раза. Как и в десятичных числах, ноль слева не пишется.
Сколько найдется шестнадцатеричных чисел, в записи которых не более 16 цифр, цифра 0 использована хотя бы один раз, а цифра A использована более 1 раза?

Ответ представьте в шестнадцатеричной системе счисления.

Игроку выдается 9 карт и он упорядочивает их по мастям в порядке Пики, Трефы, Бубны, Червы, а внутри масти по старшиству 2, 3,..., 10, В, Д, К, Т. Комбинация называется неубывающей, если младшая карта в следующей масти, не ниже старшей карт в предыдущей масти. Найдите количество неубывающих комбинаций из 9 карт.

Сколько существует различных расстановок 8 ферзей на шахматной доске, таких, что никакие 2 ферзя не бьют друг друга?

Сколько существует различных расстановок 8 ферзей на шахматной доске, таких, что ровно 2 ферзя бьют друг друга?

Матрица размером 100 на 100 элементов заполняется таким образом: в позиции с координатами (i,j) размещается цифра, находящаяся на i*j месте после запятой в записи числа π, если эта цифра четная, то она записывается с положительным знаком, если нет - с отрицательным.

Рассмотрим "внутренние" матрицы 10 на 10, состоящие из элементов:

a_m,n, a_m+1,n,...,a_m+9,n,
a_m,n+1, a_m+1,n+1,...,a_m+9,n+1,
...
a_m,n+9, a_m+1,n+9,...,a_m+9,n+9.

Суммой матрицы назовем сумму ее элементов. Найдите максимальное значение суммы среди всех "внутренних" матриц.

Рассмотрим граф, составленный из блоков A и B, показанных на рисунке:

Блоки соединяются вдоль вертикальных ребер в различном порядке, например, вот так:

Вершины графа будем раскрашивать, используя не более c цветов таким образом, чтобы связанные ребром вершины были окрашены в разные цвета.

Теперь подсчитаем, сколько разноцветных графов можно составить, используя a блоков A, b блоков B и не более c цветов.
Используя один блок A и три цвета, можно получить 24 различных графа. (a=1, b=0, c=3)
Используя два блока B и четыре цвета, можно получить 92928 различных графа. (a=0, b=2, c=4)
Используя два блока A, два блока B и три цвета, можно получить 20736 различных графа. (a=2, b=2, c=3)
А сколько различных графов можно получить, используя не более c=2011 цветов и 100 блоков A или B (a+b=100), так, чтобы a и b были четными числами?
В качестве ответа укажите 8 последних цифр результата.

На клетчатой доске 30 х 30 сидит 900 блох, по одной блохе в каждой клетке.
Когда звенит колокольчик, блохи одновременно прыгают.
Блоха, сидящая в углу доски, приземляется на одну из двух соседних клеток с равной вероятностью 1/3 и с такою же вероятностью 1/3 возвращается на прежнее место.
Блоха, сидящая у края доски, приземляется на одну из трех соседних клеток с равной вероятностью 1/4 и с такою же вероятностью 1/4 возвращается на прежнее место.
Блоха, сидящая во внутренней части доски, приземляется на одну из четырех соседних клеток с равной вероятностью 1/5 и с такою же вероятностью 1/5 возвращается на прежнее место.
Найдите математическое ожидание количества незанятых блохами клеток после пятидесяти звонков. Результат умножьте на миллион и округлите до ближайшего целого. 

Будем строить последовательность строк D0, D1,… Dn …следующим образом.
Пусть D0, - двухбуквенная строка "Fa". Для n, больших нуля, построим строку Dn, заменяя все вхождения символов "a" и "b" в строке Dn-1 следующим образом:
"a"  "aRbFR"
"b"  "LFaLb"
Тогда получим, что D0 = "Fa", D1 = "FaRbFR", D2 = "FaRbFRRLFaLbFR", и так далее.
Теперь предположим, что полученная строка является программой для плоттера, в которой символ "F" означает движение пера вперед на единицу, "R" – поворот на 90 градусов направо, а "L" – поворот на 90 градусов влево. Символы "a" и "b" на рисунок не влияют. Начальное положение пера – в начале координат (0,0), а начальное направление движения – вверх (0,1).
Получив на вход строку Dn, плоттер вычертит замысловатую ломаную, называемую "Дракон Хартера – Хейтуэя порядка n". Например, на рисунке ниже показан дракон D10. Если по команде "F" перо сдвигалось на один шаг, то в отмеченную голубым точку оно попало после 500 шагов. Ее координаты – (18,16).

Теперь представим, что плоттер начертил дракона 50-го порядка. На нем отметили точки  L и M, в которые перо попало, соответственно, после 10¹² и 10¹³ шагов. Найдите расстояние |LM|. Результат округлите вниз до целого.

В игру "Погоня" играет четное количество игроков за круглым столом двумя игральными костями.
В начале игры два игрока, сидящие друг напротив друга, получают каждый по кости. Каждую секунду игроки, получившие кость, делают ход. Для этого они одновременно бросают кубик, и если выпадает 1, они передают кость соседу слева, а если выпадет 6 – соседу справа. В остальных случаях кубик остается у игрока до следующего хода. Игра заканчивается, когда оба кубика после очередного хода окажутся у одного игрока. Этот игрок считается проигравшим.
Однажды за стол сели играть 100 игроков. Их перенумеровали подряд по часовой стрелке. Спустя некоторое время кубики оказались у игроков № 33 и № 77.
Каково ожидаемое время до конца игры?
Ответ дайте в миллисекундах, округлив его до целого.

Братья-математики Коля и Даня решили поиграть по следующим правилам.
Коля бросает монетку и, если выпадает орел, получает на свой счет очко, а если решка – не получает ничего.
Даня выбирает натуральное число T и бросает монетку T раз. Если при этом хотя бы раз выпадает решка, Даня не получает ничего, но если T раз выпадет орел, он получает сразу 2^T-1 очков.
Цель игры – набрать первым ровно 100 очков. Если игрок (очевидно, это может быть только Даня) наберет больше 100 очков, он считается проигравшим.
Какова вероятность выигрыша Дани, если он будет играть наилучшим образом, а первым ходит Коля?
Результат умножьте на 1000000 и округлите вниз до целого.