Функция Эйлера φ(n) определяется так: для любого натурального n>1 её значение равно количеству натуральных чисел, меньших n и взаимно простых с n, по определению φ(1)=1, в частности φ(9)=6 (числа 1, 2, 4, 5, 7, 8 - взаимно просты с числом 9). 

Значение функции φ(87109) = 79180 интересно тем, что оно может быть получено перестановкой цифр в аргументе функции 87109. Найти сумму всех аргументов, меньших 1 миллиона, обладающих таким же свойством.

k-угольные числа задаются формулой:

P_n(k)=n+(k-2)n(n-1)/2.

Имеется уникальный набор k-угольных четырехзначных чисел: 8128, 2882, 8281, который обладает следующими свойствами.

1. Две последние цифры первого числа являются первыми цифрами второго, две последние цифры второго числа являются первыми цифрами третьего и, две последние цифры третьего числа являются первыми цифрами первого.

2. Числа 8128=P₁₂₇(3), 8281=P₉₁(4), 2882=P₄₄(5) являются k-угольными с последовательными номерами k=3, 4, 5.

Найдите 7 k-угольных четырехзначных чисел, которые обладают описанными свойствами для k=3, 4, ..., 9. Чему равен максимум их суммы?

Из числа 41063625=345³ перестановкой цифр можно получить еще два числа, которые являются кубами: 56623104=384³ и 66430125=405³. Найти наименьшее число, являющееся четвертой степенью натурального числа, перестановкой цифр в котором можно получить еще ровно 2 различных числа, являющихся четвертыми степенями.

Найти сумму всех n-значных натуральных чисел, являющихся степенями порядка 2n некоторых натуральных чисел.

Рассмотрим дробь n/d, где n и d - натуральные числа. Если числа n и d - взаимно простые, и n<d, такую дробь называют правильной несократимой.
Если мы возьмем все правильные несократимые дроби с d ≤ 8 и выпишем их в порядке возрастания, то получим следующую последовательность:
1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8
Сумма знаменателей этих дробей:
8+7+6+5+4+7+3+8+5+7+2+7+5+8+3+7+4+5+6+7+8
равна 122.
Если выписать таким же образом правильные несократимые дроби с d ≤ 1 000 000, то какой будет сумма их знаменателей?

Рассмотрим дробь n/d, где n и d - натуральные числа. Если числа n и d - взаимно простые, и n<d, такую дробь называют правильной несократимой.
Если мы возьмем все правильные несократимые дроби с d ≤ 8 и выпишем их в порядке возрастания, то получим следующую последовательность:
1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8
Между 1/3 и 1/2 расположены 3 дроби: 3/8, 2/5, 3/7, а сумма их числителей равна 8.
Если выписать таким же образом все правильные несократимые дроби с d ≤ 10 000, то какова будет сумма числителей дробей, лежащих между 1/3 и 1/2?

Найти наименьшее число n, такое что n! имеет в конце 1000000 нулей.

Функция Эйлера φ(n) определяется так: для любого натурального n>1 её значение равно количеству натуральных чисел, меньших n и взаимно простых с n, по определению φ(1)=1, в частности φ(9)=6 (числа 1, 2, 4, 5, 7, 8 - взаимно просты с числом 9). 

Значение функции φ(87109) = 79180 интересно тем, что оно может быть получено перестановкой цифр в аргументе функции 87109. Найти такое n, 1<n<10⁷, для которого φ(n) является перестановкой n, а разность n-φ(n) максимальна.

Рассмотрим дробь n/d, где n и d - натуральные числа. Если числа n и d - взаимно простые, и n<d, такую дробь называют правильной несократимой.
Если возьмем все правильные несократимые дроби с d ≤  8, и выпишем их в порядке возрастания, то получим следующую последовательность:
1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8
В этом ряду дробь 3/4 - ближайшая справа от 5/7.
Если выписать таким же образом правильные несократимые дроби с d ≤ 1 000 000 000 000 в порядке возрастания, то какой числитель будет у дроби, ближайшей справа от 5/7?

Строку натуральных чисел (1, 3, 5, 2, 4) попробуем упорядочить при помощи специальных перестановок: разделим строку на 2 части (1, 3, 5) и (2, 4), первую строку запишем в обратном порядке и присоединим ко второй, в результате получим (5, 3, 1, 2, 4). Далее действуем также - разбиваем строку на 2 любые части (любая часть может быть пустой), первую часть записываем в обратном порядке и просоединяем ко второй. При помощи перестановок:

(5, 3, 1, 2, 4) = (5, 3, 1, 2, 4) + () -> (4, 2, 1, 3, 5)

(4, 2, 1, 3, 5) = (4, 2, 1, 3) + (5) -> (3, 1, 2, 4, 5)

(3, 1, 2, 4, 5) = (3, 1, 2) + (4, 5) -> (2, 1, 3, 4, 5)

(2, 1, 3, 4, 5) = (2, 1) + (3, 4, 5) -> (1, 2, 3, 4, 5)

За какое минимальное количество перестановок гарантированно можно упорядочить строку чисел от 1 до 100?