Найдите сумму первых 100 цифр после запятой числа sin(sin(sin...(sin 1)...)) (sin повторяется 10 раз).

Поделим с остатком натуральное число n на d. Пусть неполное частное равно q, а остаток r. Иногда числа d, q и r, записанные в некотором порядке, образуют геометрическую прогрессию.

Для примера поделим с остатком 58 на 6. Получим неполное частное 9 и остаток 4. Видим, что 4, 6, 9 образуют геометрическую прогрессию (со знаменателем 3/2).
Мы будем называть такие числа n прогрессивными.

Некоторые прогрессивные числа, такие как 9 или 10404 = 102², являются полными квадратами.
Оказывается, что 97344 - это наибольший прогрессивный полный квадрат, меньший ста тысяч.

Найдите наибольший прогрессивный полный квадрат, меньший одного триллиона (10¹²).

В каждой ячейке квадрата размера 5 на 5 записана цифра. Квадрат будем считать простым, если каждая строка (слева направо), каждый столбец (сверху вниз) и обе диагонали (слева направо) являются простыми пятизначными числами. Сколько существует различных симметричных простых квадратов (т.е. таких, в которых первая строка равна первому столбцу, вторая строка - второму столбцу, и так далее, все 5)?

На складах 'A' и 'B' хранятся деликатесы в следующих количествах:

Обратите внимание на то, что количество каждого продукта измеряется упаковками, т.е. целым числом.

<page-break/>

Хотя хозяин всячески старается хранить деликатесы наилучшим образом, они иногда все-таки портятся.
Однажды хозяин решил проанализировать сохранность продуктов, используя два вида показателей:
• Доля испорченных для каждого из пяти видов продуктов и для каждого склада, которая рассчитывалась как отношение количества испорченного продукта на данном складе к количеству данного продукта на данном складе.
• Общая доля испорченных продуктов для каждого склада, которая рассчитывалось как общее количество испорченных продуктов на складе к общему количеству всех продуктов на данном складе.
Выяснилось, что на складе 'B' доля испорченных продуктов каждого вида больше, чем на складе 'A'. При этом оказалось, что доля испорченных для каждого из пяти продуктов на складе B отличалась от доли испорченных для того же продукта на складе A одним и тем же множителем m>1, т.е. отношение долей испорченных продуктов для каждого из продуктов было одинаково.
Но самым удивительным было то, что общая доля испорченных продуктов на складе 'A' была больше, чем на складе 'B', и их отношение также было в точности равно m.
Оказывается, что эта странная ситуация не уникальна. Она может возникать при 35 различных значениях m>1, и при этом наименьшее общее количество испорченных продуктов на обоих складах вместе равно 215.
Найдите наибольшее количество упаковок, которое могло испортиться на обоих складах вместе в подобной удивительной ситуации.

Даны n натуральных чисел  1 < a₁  < a₂ < ... < a_n. Будем рассматривать их линейные комбинации вида  q₁a₁ + q₂a₂ + ... + q_na_n = b, используя при этом только целые неотрицательные коэффициенты q_k ≥ 0. Заметим, что таким образом можно получить далеко не всякое значение b. Например, при n=2, a₁ = 5 и a₂  = 7 правая часть b может принимать любые натуральные значения кроме двенадцати: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 13, 16, 18 и 23. Обозначим количество таких недостижимых чисел через h(a₁, a₂, ..., a_n). Таким образом, h(5,7)=12.
Также можно проверить, что h(6, 10, 15)=15, и h(14, 22, 77) = 98.
Найдите сумму всех h(p*q,p*r,q*r), где p, q и r ? простые числа, и p < q < r < 5000.

Для каждого натурального числа n определим f(n) как наименьшее натуральное число, кратное n, десятичная запись которого состоит из нулей, двоек и троек.

Например, f(1)=2, f(3)=3, f(4)=f(5)=f(10)=20, f(7)=203, f(9)=333, f(89)= 20203.

Можно подсчитать, что 

f(1)/1 + f(2)/2 + f(3)/3+ ... + f(100)/100 = 19443

Найдите f(1)/1 + f(2)/2 + f(3)/3+ ... + f(10000)/10000

Рассмотрим вещественное число √2+√3 и рассчитаем его четные степени:

(√2+√3)² = 9.898979485566356...

(√2+√3)⁴ = 97.98979485566356...

(√2+√3)⁶ = 969.998969071069263...

(√2+√3)⁸ = 9601.99989585502907...

(√2+√3)¹⁰ = 95049.999989479221...

(√2+√3)¹² = 940897.9999989371855...

(√2+√3)¹⁴ = 9313929.99999989263...

(√2+√3)¹⁶ = 92198401.99999998915...

Интересно, что количество девяток в дробной части полученных значений не убывает, и можно доказать, что сама дробная часть при больших n стремится к 1.

В этой задаче мы рассматриваем только вещественные числа, которые можно представить в виде √p+√q , где p и q – натуральные числа, p<q, а дробная часть выражения (√p+√q)²ⁿ стремится к 1 при больших n.

Пусть C(p,q,n) — количество девяток после запятой в числе (√p+√q)²ⁿ, а N(p,q) — минимальное значение n, при котором C(p,q,n)≥2013.

Найдите количество чисел вида √p+√q, где 1≤p<q≤2013, для которых N(p,q)>2013.

Пусть последовательность n натуральных чисел x₁, x₂,..., x_n обладает следующими свойствами:

• x₁ = 2
• для всех 1 <  i ≤  n : x_i-1 <  x_i
• для всех i и j из интервала 1 ≤ i, j ≤  n выполняется неравенство (x_i)^j <  (x_j + 1)ⁱ

Существует всего 5 таких последовательностей длины 2, а именно {2,4}, {2,5}, {2,6}, {2,7} и {2,8}, 293 таких последовательности длины 5, например {2,5,11,25,55}, {2,6,14,36,88}, {2,8,22,64,181}.

Пусть t(n) — количество таких последовательностей длины n.

Тогда t(10) = 86195 и t(20) = 5227991891.

Найдите 7 последних цифр Σt(2^k) для 0 ≤ k ≤ 33.

Вагоны поезда обозначены буквами латинского алфавита: A,B,C,D..., и последовательность вагонов в железнодорожном составе можно задать с помощью соответствующей цепочки букв.

В правильно сформированном составе вагоны должны следовать алфавитном порядке. Добиваются этого на сортировочной станции, где установлен большой поворотный круг.

Когда состав въезжает на круг, несколько последних вагонов отцепляют, после чего локомотив с остальными вагонами съезжает с круга. Вагоны, стоящие на круге, поворачивают на 180 градусов и вновь прицепляют в хвост состава, но уже в обратном порядке. Эту операцию повторяют несколько раз, пока не достигают желаемого результата.

В некоторых случаях сформировать состав совсем просто. Например, когда исходный порядок вагонов ADCB, вагоны можно расцепить между A и D, затем развернуть фрагмент DCB, и, наконец, сцепить вагоны в нужном порядке. Результат достигается всего за один шаг, т.е. за один поворот круга на 180 градусов.

Возможно, процесс можно оптимизировать, но машинист пользуется совсем простым алгоритмом. Сначала он стремиться прицепить вагон A следом за паровозом, затем следом за ним вагон B, и так далее.

Машинист выяснил, что для состава из четырех вагонов потребуется не более 5 шагов. Максимальное количество - 5 операций - требуется для двух начальных последовательностей, а именно DACB и DBAC. Последовательности вагонов, требующие наибольшего количества операций для упорядочения, будем называть пессимальными.

Порядок формирования состава для начальной последовательности  DACB показан на рисунке.

Для состава из шести вагонов машинист составил список пессимальных последовательностей. Список содержал 24 последовательности. Последовательности он расположил в алфавитном порядке, и цепочка DFAECB оказалась на десятом месте от начала.

Представьте, что вам поручили составить список пессимальных последовательностей для составов из 11 вагонов и упорядочить получившийся список в алфавитном порядке.

На каком месте в списке окажется последовательность CIAKBGHFJDE?

Сколькими различными способами можно разрезать шестиугольник из 54-х одинаковых равносторонних треугольников по линиям сетки на три конгруэнтных n–угольника?

Разрезания, являющиеся симметрическими отображениями друг друга, считать только один раз. Т.е., нужно найти количество «неконгруэнтных разрезаний».