Функция Эйлера φ(n) определяется так: для любого натурального n>1 её значение равно количеству натуральных чисел, меньших n и взаимно простых с n, по определению φ(1)=1, в частности φ(9)=6 (числа 1, 2, 4, 5, 7, 8 - взаимно просты с числом 9). 

Значение функции φ(87109) = 79180 интересно тем, что оно может быть получено перестановкой цифр в аргументе функции 87109. Найти такое n, 1<n<10⁷, для которого φ(n) является перестановкой n, а разность n-φ(n) максимальна.

Рассмотрим дробь n/d, где n и d - натуральные числа. Если числа n и d - взаимно простые, и n<d, такую дробь называют правильной несократимой.
Если возьмем все правильные несократимые дроби с d ≤  8, и выпишем их в порядке возрастания, то получим следующую последовательность:
1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8
В этом ряду дробь 3/4 - ближайшая справа от 5/7.
Если выписать таким же образом правильные несократимые дроби с d ≤ 1 000 000 000 000 в порядке возрастания, то какой числитель будет у дроби, ближайшей справа от 5/7?

Вы собираете теннисные мячи в корзины, сотоящие из трех отделений, при этом раскладываете их по следующим правилам:

1. во всех отделениях всех корзин разное (ненулевое) количество мячей;

2. во всех корзинах в сумме по отделениям одинаковое количество мячей;

3. количество мячей в корзинах минимально возможное для данного количества корзин.

Например, если у вас 2 корзины, то в отделения первой корзины последовательно разещаем 1, 3 и 7 мячей, а в отделения второй - 2, 4 и 5 мячей. В результате в каждой корзине будет по 11 мячей, и это число минимально возможное.

У вас 100 корзин, найти сумму мячей в одной корзине.

Будем изготавливать из проволоки прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами. Для этого нам потребуется кусок проволоки длиной не менее 12 см, а из двенадцатисантиметрового куска мы сможем согнуть такой треугольник ровно одним способом. Существует бесконечно много чисел, которые могли бы быть периметром прямоугольного треугольника, например:
12 см: (3,4,5)
24 см: (6,8,10)
30 см: (5,12,13)
36 см: (9,12,15)
40 см: (8,15,17)
48 см: (12,16,20)

С другой стороны, если взять проволоку длиной 20, прямоугольный треугольник с целочисленными сторонами из нее не согнешь, а из проволоки длиной 120 см можно сделать три разных треугольника:

120 см: (30,40,50), (20,48,52), (24,45,51)
Какова наименьшая длина проволоки, позволяющая сложить из нее ровно 99 прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами?

Сколько нулей в записи числа 2009!?

Число 32 можно представить в виде суммы нескольких двузначных чисел ровно девятью способами:

10 + 22
11 + 21
12 + 20
13 + 19
14 + 18
15 + 17
16 + 16
10 + 10 + 12
10 + 11 + 11

А сколькими способами можно представить число 100 в виде суммы двузначных слагаемых?

Найти количество всех делителей числа 2²⁰⁰⁹, в десятичной записи которых отсутствует цифра ноль.

Некоторые числа обладают интересным свойством:

1233 = 12² + 33², 990100 = 990² + 100².

Найти наибольшее 8-значное число ABCDEFGH такое, что ABCDEFGH=ABCD²+EFGH².

На шахматную доску расставляются различные фигуры - кони, слоны, ладьи, ферзи и короли, при этом каждая фигура присутствует хотя бы один раз и ни одна фигура не находится под боем остальных. Какое максимальное количество фигур можно разместить таким образом?

Натуральные числа a ≤ b ≤ c ≤ d такие, что 1000 <= a,b,c,d <= 1000000 и a+b, a+c, a+d, b+c, b+d, c+d, a+b+c+d являются квадратами некоторых целых чисел. Сколько таких различных четверок чисел существует?