Рассмотрим треугольники, длины сторон которых выражаются целыми числами, и, кроме того, градусная мера хотя бы одного из углов — тоже целое число. Ограничимся при этом треугольниками с периметром, не превышающим 10⁸.
Найдите сумму их периметров.

Рассмотрим треугольник со сторонами 6,8 и 10. Легко подсчитать, что и его периметр, и его площадь равны 24, а отношение площади к периметру равно 1.

У треугольника со сторонами 13,14 и 15 периметр равен 42, а площадь — 84 единицам. Отношение площади этого треугольника к его периметру равно 2.

Подсчитайте, сколько существует различных треугольников с целыми сторонами, для которых отношение площади к периметру равно целому числу, не превышающему 1000.

Рассмотрим метод кодирования черно-белых изображений при помощи квадрадеревьев для квадратного изображения размером 2^N×2^N  однобитовых пикселей. Сгенерируем кодирующую последовательность из нулей и единиц по следующим правилам:

• Первый бит относится ко всему квадрату 2^N ×2^N
• "0" означает ветвление дерева, и текущий квадрат 2ⁿ×2ⁿ разделяется на четыре меньших квадрата размером 2^n-1×2^n-1. Следующие за нулем биты содержат описание этих четырех квадратов, сначала левого верхнего, затем правого верхнего, левого нижнего и правого нижнего (именно в этой последовательности).
• "10" означает, что данный квадрат содержит только черные пиксели;
• "11" означает, что данный квадрат содержит только белые пиксели.

В качестве примера рассмотрим изображение размером 4×4, где цветными крестиками обозначены точки ветвления.

В принципе, изображение может быть закодировано несколькими различными битовыми последовательностями, например, "001010101001011111011010101010" или "0100101111101110". Первая из этих последовательностей содержит 30 битов, а вторая – только 16, и эта длина является минимальной.

Рассмотрим теперь изображения размером 2^N×2^N, построенные следующим образом:

• Пиксель с координатами x=0, y=0 соответствует левому нижнему углу изображения,
• Если  (x-2^N-1)²+(y-2^N-1)² ≤ 2^2N-2 , то соответствующий пиксель черного цвета,
• Остальные пиксели - белые.

Для изображения данного типа с N=24 найдите кодирующую последовательность минимальной длины. Сколько единиц она содержит?

Обозначим через C(x,y) окружность, проходящую через точки (x, y), (x,y+1), (x+1,y) и (x+1,y+1).

Обозначим через E(m,n) объединение m×n окружностей C(x,y), где 0≤x<m, 0≤y<n, а x, y, m и n – целые числа.

Эйлеровым циклом на E(m,n) называется замкнутый путь, включающий каждую дугу каждой окружности ровно один раз. В этой задаче мы будем рассматривать только те эйлеровы циклы, которые не имеют самопересечений. При этом участки цикла могут касаться друг друга в точках с целыми координатами, но не должны пересекаться.

На рисунке показан пример эйлерова цикла без самопересечений на E(3,3).

Обозначим через L(m,n) количество эйлеровых циклов без самопересечений на E(m,n).

Например, L(1,2) = 2, L(2,2) = 37 и L(3,3) = 104290.

Найдите остаток от деления  L(6,13) на 6¹³.

Рассмотрим две окружности, у которых и центры, и точки пересечения имеют целочисленные координаты. Выпуклую область, ограниченную такой парой окружностей будем называть линзой, если она не имеет внутренних точек с целочисленными координатами. Радиусы окружностей, ограничивающих линзу, назовем радиусами линзы. На рисунке ниже показаны следующие окружности:

C₀: x²+y²=25
C₁: (x+4)²+(y-4)²=1
C₂: (x-12)²+(y-4)²=65

Линзы, заключенные между окружностями C₀ и C₁ и между C₀ и C₂, закрашены красным.

Обозначим через L(N) количество различных пар чисел (r1,r2), для которых существует линза с радиусами r1 и r2, и 0<r1≤ r2≤ N.

Можно проверить, что L(10) = 30 и L(100) = 3442.

Найдите Σ L(10^k), где 1 ≤ k ≤ 5.

Рассмотрим треугольник ABC с целочисленными сторонами. Пусть k – биссектриса угла ACB, m – касательная в точке C к окружности, описанной вокруг ABC, а прямая n проведена через точку B параллельно m. Прямые k и n пересекаются в точке E, как показано на рисунке:

Сколько существует треугольников ABC со сторонами BC ≤AC ≤AB≤ 30000, для которых длина BE оказывается целым числом?

Лёва и Петя поспорили, у кого лучше память, и решили проверить. Для этого они обзавелись генератором случайных чисел, настроили его на получение случайных чисел от 1 до 10 и стали соревноваться, кто больше чисел запомнит. По условию игры участник получает очко, если очередное число все еще хранится в его памяти. Побеждает тот, кто набрал больше очков.

По ходу дела выяснилось, что и Лёва, и Петя могут удержать в голове не более пяти разных чисел. Если игрок уже помнит пять чисел, то чтобы запомнить следующее, не содержащееся к этому моменту в его памяти, он вынужден забыть одно из имеющихся. Однако оказалось, что забывание происходит несколько по-разному:

• Лёва забывает то число, которое не выдавалось генератором наиболее продолжительное время
• Петя забывает то число, которое первым попало в память.

В начале соревнования память игроков свободна.

Вот пример начала игры:

Обозначим количество очков, которые Лёва и Петя набрали после 50 туров через L и P, соответственно. Найдите математическое ожидание величины (L-P)², результат умножьте на 10⁸ и округлите до ближайшего целого.

На плоскости даны четыре точки с целочисленными координатами: A(a, 0), B(b, 0), C(0, c) и D(0, d), где 0 < a < b и 0 < c < d.

Точка P(x,y) с целочисленными координатами выбрана на отрезке AC так, что треугольники ABP, CDP и BDP оказываются подобными.

Легко показать, что при этом a=c=x+y. Поэтому, задав подходящим образом четверку чисел (x,y,b,d), мы однозначно определим размер и положение наших треугольников.

Например, четверки (x,y,b,d)=(1,1,3,4) и (x,y,b,d)=(1,1,4,3) обе удовлетворяют указанным условиям: каждая из них задает три подобных треугольника. Мы будем считать различными такие четверки, отвечающие взаимно симметричным конфигурациям.

При b+d<100 существует 110 различных четверок, задающих три подобных треугольника.

При b+d<100 000 существует 395662 различных четверок, задающих три подобных треугольника.

Сколько существует различных четверок, задающих три подобных треугольника при b+d<100 000 000?

В сильно  упрощенной модели белки можно рассматривать как цепочки гидрофобных (H) и полярных (P) элементов, например HHPPHHHPHHPH.

В этой задаче мы будем считать, что ориентация белка существенна, то есть белки HPP и PPH мы будем считать различными, а количество белков из n элементов будет равно 2ⁿ.

Гидрофобные элементы притягиваются друг к другу, и белок принимает наиболее энергетически выгодную конфигурацию так, чтобы максимизировать количество связей H-H. 

Поэтому элементы H часто находятся внутри белка, а элементов P больше снаружи. Конечно, настоящие белки имеют трехмерные конфигурации, но мы еще несколько упростим модель, ограничившись двумя измерениями и предполагая, что звенья цепочки занимают места в клетках квадратной решетки.

На рисунке показаны две конфигурации одного белка (связи H-H отмечены красными точками)

В конфигурации слева сформировалось всего лишь 6 связей H-H, поэтому такая конфигурация энергетически невыгодна и не может встретиться в природе.

Правая конфигурация имеет девять связей H-H, и это максимальное значение для такой цепочки. Будем называть оптимальными те конфигурации, которые обеспечивают максимальное количество связей H-H для данной цепочки.

77 из 256 восьмиэлементных цепочек в оптимальной конфигурации имеют более 4 связей H-H.

Сколько цепочек, состоящих из 15 элементов, в оптимальной конфигурации будут иметь более 9 связей H-H?

Английский математик Джон Хортон Конвей изобрел множество математических развлечений, доставляющих не только удовольствие, но и пищу для серьезных размышлений. Одно из его изобретений – язык программирования FRACTRAN, о котором пойдет речь в данной задаче.

Память данных виртуальной машины языка FRACTRAN содержит одно единственное целое число, а программа представляет собой упорядоченную последовательность рациональных дробей. На каждом шаге выполнения программы машина просматривает эти дроби одну за другой слева направо и умножает каждую из них на число из памяти, пока произведение не окажется целым. Полученное целое число записывают в память вместо предыдущего. 

Вот, например, FRACTRAN-программа, предложенная Конвеем для получения последовательности простых чисел:

17/91, 78/85, 19/51, 23/38, 29/33, 77/29, 95/23, 77/19, 1/17, 11/13, 13/11, 15/2, 1/7, 55/1.

Записав в память исходное значение 2, получим в памяти ряд чисел в следующей последовательности:

15, 825, 725, 1925, 2275, 425, 390, 330, 290, 770, 910, 170, 156, 132, 116, 308, 364, 68, 4, 30, ..., 136, 8, 60, ..., 544, 32, 240, ...

Оказывается, степени двойки в полученной последовательности встречаются только с простыми показателями: 2², 2³, 2⁵, ..., и можно проверить, что данная последовательность будет содержать в порядке возрастания все степени двух с простыми показателями.

Заметим, что для получения 2² из исходного числа 2 потребовалось 19 шагов программы, и при этом три раза происходило умножение на дробь 13/11.

А сколько раз придется выполнить умножение на 13/11 при переходе от исходного числа 2 к 2¹¹¹¹¹⁹?