Запишем число 57 в системах счисления по основанию 4 и 28:

57₁₀=321₄=21₂₈

В обоих случаях 

• последней цифрой оказалась единица, 
• цифры в записи числа убывают, 
• каждая последующая цифра меньше предыдущей на единицу. 

При выполнении этих условий будем говорить, что число имеет специальный вид в данной системе счисления.

Так, число 57 имеет специальный вид в системах счисления с основаниями 4 и 28.

Существует пять натуральных чисел 1<n<500, имеющих специальный вид хотя бы в двух системах счисления, а именно 57, 121, 209, 321 и 457. Их сумма равна 1165.

Найдите сумму n (1<n<10¹²), имеющих специальный вид хотя бы в двух системах счисления.

В этой задаче мы будем рассматривать натуральные числа, имеющие ровно три простых делителя. Например, число 240 имеет простые делители 2,3 и 5. Это наибольшее число, не превышающее 250, имеющее эти три простых делителя и не имеющее других.

Для различных простых чисел p, q и r обозначим через M(p,q,r,N) наибольшее натуральное число, не превышающее N, которое делится на p, q и r, но не имеет других простых делителей. Если таких чисел нет, будем считать, что M(p,q,r,N)=0.

Например:

• M(2,3,5,250)=240.
• M(2,3,7,250)=168, а не 210, поскольку число 210 имеет 4 простых делителя.
• M(3,7,13,250)=0, поскольку нет натуральных чисел, не превышающих 250, которые делятся на 3, 7 и 13.

Пусть S(N) – сумма различных значений M(p,q,r,N) для всех сочетаний p, q и r. Так, S(250)= 4588.

Найдите  S(10 000 000).

Многие числа могут быть представлены в виде суммы куба и квадрата, а некоторые из них даже несколькими способами.
Рассмотрим число 37873.
Во-первых, оно может быть записано в виде суммы куба и квадрата тремя способами:

37873 = 18³+179² = 22³+165² = 33³+44²

Во-вторых, оно является палиндромом, то есть его десятичная запись читается слева направо и справа налево одинаково.

Найдите сумму палиндромов, не превышающих миллиарда, которые можно представить в виде суммы куба и квадрата не менее чем тремя способами.

В этой задаче мы будем рассматривать конечные последовательности натуральных чисел, например, (2,4,6), (2,6,4), (10,6,15,6) и (11).
Наибольшим общим делителем последовательности (gcd) будем называть наибольшее натуральное число, являющееся делителем каждого члена последовательности. Например, gcd(2,6,4) = 2, gcd(10,6,15,6) = 1 и gcd(11) = 11.
Наименьшим общим кратным последовательности (lcm) будем называть наименьшее натуральное число, кратное каждому члену последовательности, например, lcm(2,6,4) = 12, lcm(10,6,15,6) = 30 и lcm(11) = 11.
Обозначим через f(G, L, N) количество последовательностей длины N у которых gcd ≥ G и lcm ≤ L. Например:
f(10, 100, 1) = 91.
f(10, 100, 2) = 327.
f(10, 100, 3) = 1135.
f(10, 100, 1000) mod 101⁴ = 3286053.
Здесь a mod b означает остаток от деления a на b.
Найдите f(10⁶, 10¹², 10¹⁰⁰) mod 101⁴.

Фруктовый сад имеет шестиугольную форму, а деревья в саду растут в вершинах треугольной решетки. На рисунке показан план такого сада со стороной n=5:

Из центра сада можно увидеть только часть деревьев, поскольку некоторые (они на рисунке обозначены зеленым цветом) заслонены другими, растущими ближе к наблюдателю. Легко подсчитать, что для сада со стороной n=5 количество заслоненных деревьев равно 30.
Обозначим через H(n) количество заслоненных деревьев для шестиугольного сада со стороной n.
Можно проверить, что H(5) = 30, H(10) = 138, а H(1000) = 1177848.
Найдите H(1234567890).

На рисунке изображены пчелиные соты, каждая ячейка которых представляет собой правильный шестиугольник со стороной 1.

Одну из ячеек занимает пчелиная матка.
Обозначим через B(L) количество ячеек, удаленных от матки на расстояние L (в этой задаче мы будем измерять расстояния между центрами ячеек).
Считая соты достаточно большими, получим  B(√3) = 6, B(√21) = 12 и B(111 111 111) = 54.

Найдите количество таких L ≤ 3•10¹¹, для которых B(L) = 378.

Ответ:

Рассмотрим множества, состоящие из взаимно простых натуральных чисел, не превышающих n.
Обозначим через Co(n) максимально возможную сумму элементов такого множества.
Например, Co(10)=30, и это значение достигается для множества {1, 5, 7, 8, 9}.
Можно проверить, что Co(30) = 193 и Co(100) = 1356.
Найдите Co(1000000).

Циклическим называют натуральное число из n знаков, обладающее следующим интересным свойством: если умножить его на 1, 2, 3, 4,…, n-1 или n, то произведение будет состоять из тех же цифр, но переставленных циклически.

Если не считать тривиального числа 1, наименьшим циклическим числом будет 142857:
142857 × 1 = 142857
142857 × 2 = 285714
142857 × 3 = 428571
142857 × 4 = 571428
142857 × 5 = 714285
142857 × 6 = 857142

Если, как это обычно принято, не писать нулей в старших разрядах, то больше циклических чисел мы не обнаружим. Однако если начинать с нулей, можно найти их бесконечно много, например, следующим циклическим будет 16-значное число 0588235294117647:

0588235294117647 × 1 = 0588235294117647
0588235294117647 × 2 = 1176470588235294
0588235294117647 × 3 = 1764705882352941
...
0588235294117647 × 16 = 9411764705882352

Найдите наибольшее циклическое число, которое начинается цифрами 00000000123 и заканчивается цифрами 56789 (то есть число вида 00000000123...56789, где многоточие означает некоторое неизвестное количество цифр). В качестве ответа укажите сумму его цифр.