Рассмотрим число
G(n) = (n²)!/(n!)ⁿ,
где n – натуральное. Несложно показать, что G(n) – тоже натуральное число.
Например, G(3)=1680. Разложим 1680 на простые множители, а затем их сложим:

1680=2⁴×3×5×7=2×2×2×2×3×5×7,
и
2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 5 +7 = 23.
Таким образом, сумма простых множителей числа G(3) равна 23.

Найдите сумму простых множителей числа G(4444).

В зале театра 40 нумерованных мест, а продано всего 18 билетов. Сколькими способами можно рассадить зрителей так, чтобы ровно 8 из них сидели на своих местах?

Игрок бросает пять шестигранных костей (т.е. кубиков, грани которых пронумерованы от 1 до 6), а затем подсчитывает сумму трех наибольших выпавших значений.
Ниже приведены четыре примера, когда игрок получает 15 очков:

D1,D2,D3,D4,D5 = 4,3,6,3,5
D1,D2,D3,D4,D5 = 4,3,3,5,6
D1,D2,D3,D4,D5 = 3,3,3,6,6
D1,D2,D3,D4,D5 = 6,6,3,3,3

Существует ровно 1111 вариантов для пяти шестигранных костей, когда три наибольших выпавших значения дают в сумме 15.

А сколько будет вариантов для 18 двенадцатигранных костей (т.е. додекаэдров, грани которых пронумерованы от 1 до 12), когда 10 наибольших выпавших значений в сумме дают полный квадрат?

Рассмотрим множество, состоящее из первых n натуральных чисел: {1,2,...,n}.
Обозначим через f(n,k) количество его k-элементных подмножеств, сумма элементов которых нечетна. Например, f(5,3) =4, поскольку множество {1,2,3,4,5} имеет четыре 3-элементных подмножества с нечетной суммой элементов: {1,2,4}, {1,3,5}, {2,3,4} и {2,4,5}.
Когда все три числа n, k и f(n,k) нечетны, будем говорить, что они образуют нечетный триплет, и обозначим через g(m) количество нечетных триплетов [n,k,f(n,k)] с n ≤ m.
Тогда g(10)=5, поскольку существует ровно 5 нечетных триплетов с n ≤ 10, а именно:
[1,1,f(1,1)=1], [5,1,f(5,1)=3], [5,5,f(5,5)=1], [9,1,f(9,1)=5] и[9,9,f(9,9)=1]
Найдите наименьшее m, при котором g(m) > 10¹⁸.

Лист бумаги представляет собой прямоугольник размером M × N, где M и N – натуральные числа. Отметим на его сторонах точки с целочисленными координатами, а затем будем разрезать этот лист, руководствуясь следующими правилами:
1. Каждый разрез представляет собой отрезок, соединяющий отмеченные точки.
2. Разрезы не пересекаются, но могут иметь общие концы, соответствующие отмеченным точкам.
3. Мы будем продолжать делать разрезы, пока не останется кусков, которые можно разрезать, не нарушая правил 1 и 2.
Ясно, что по указанным правилам наш лист можно разрезать несколькими способами. Некоторые из этих способов будут симметричны или отличаться друг от друга только поворотом, но мы будем считать такие способы различными. Пусть F(M,N) – это количество способов, которыми можно разрезать прямоугольный лист размером M × N.
Например, F(1,1)=2, F(1,2)=F(2,1)=6, F(2,2)=30.
Случай M=2, N=2 проиллюстрирован рисунком:

Найдите остаток от деления F(25,35) на 10⁸.

Определим уравновешенную статую как полимино, удовлетворяющее следующим требованиям:

• Статуя порядка n состоит из n единичных квадратов — блоков и еще одного квадрата — постамента (всего — n+1 квадрат).
• Центр постамента находится в начале координат (x = 0, y = 0).
• Центры всех блоков имеют положительные координаты y, так что постамент находится ниже остальных квадратов.
• Центр масс уравновешенной статуи имеет нулевую горизонтальную координату x.

Подсчитаем количество различных уравновешенных статуй порядка n. При этом статуи, симметричные друг другу относительно вертикальной оси, будем считать одинаковыми. На рисунке показаны уравновешенные статуи порядка 6. Объединив симметричные, получим 18 различных уравновешенных статуй.

Пусть Z(n) – количество уравновешенных статуй порядка n. Тогда  Z(6)=18, Z(10)=964, Z(15)= 360505.

Найдите ∑Z(n)  для 1 ≤ n ≤ 18.

Рассмотрим метод кодирования черно-белых изображений при помощи квадрадеревьев для квадратного изображения размером 2^N×2^N  однобитовых пикселей. Сгенерируем кодирующую последовательность из нулей и единиц по следующим правилам:

• Первый бит относится ко всему квадрату 2^N ×2^N
• "0" означает ветвление дерева, и текущий квадрат 2ⁿ×2ⁿ разделяется на четыре меньших квадрата размером 2^n-1×2^n-1. Следующие за нулем биты содержат описание этих четырех квадратов, сначала левого верхнего, затем правого верхнего, левого нижнего и правого нижнего (именно в этой последовательности).
• "10" означает, что данный квадрат содержит только черные пиксели;
• "11" означает, что данный квадрат содержит только белые пиксели.

В качестве примера рассмотрим изображение размером 4×4, где цветными крестиками обозначены точки ветвления.

В принципе, изображение может быть закодировано несколькими различными битовыми последовательностями, например, "001010101001011111011010101010" или "0100101111101110". Первая из этих последовательностей содержит 30 битов, а вторая – только 16, и эта длина является минимальной.

Рассмотрим теперь изображения размером 2^N×2^N, построенные следующим образом:

• Пиксель с координатами x=0, y=0 соответствует левому нижнему углу изображения,
• Если  (x-2^N-1)²+(y-2^N-1)² ≤ 2^2N-2 , то соответствующий пиксель черного цвета,
• Остальные пиксели - белые.

Для изображения данного типа с N=24 найдите кодирующую последовательность минимальной длины. Сколько единиц она содержит?

В сильно  упрощенной модели белки можно рассматривать как цепочки гидрофобных (H) и полярных (P) элементов, например HHPPHHHPHHPH.

В этой задаче мы будем считать, что ориентация белка существенна, то есть белки HPP и PPH мы будем считать различными, а количество белков из n элементов будет равно 2ⁿ.

Гидрофобные элементы притягиваются друг к другу, и белок принимает наиболее энергетически выгодную конфигурацию так, чтобы максимизировать количество связей H-H. 

Поэтому элементы H часто находятся внутри белка, а элементов P больше снаружи. Конечно, настоящие белки имеют трехмерные конфигурации, но мы еще несколько упростим модель, ограничившись двумя измерениями и предполагая, что звенья цепочки занимают места в клетках квадратной решетки.

На рисунке показаны две конфигурации одного белка (связи H-H отмечены красными точками)

В конфигурации слева сформировалось всего лишь 6 связей H-H, поэтому такая конфигурация энергетически невыгодна и не может встретиться в природе.

Правая конфигурация имеет девять связей H-H, и это максимальное значение для такой цепочки. Будем называть оптимальными те конфигурации, которые обеспечивают максимальное количество связей H-H для данной цепочки.

77 из 256 восьмиэлементных цепочек в оптимальной конфигурации имеют более 4 связей H-H.

Сколько цепочек, состоящих из 15 элементов, в оптимальной конфигурации будут иметь более 9 связей H-H?

Рассмотрим игру для двух участников. Игровое поле представляет собой полоску из n клеток белого цвета. Ходы совершают по очереди. Каждым ходом игрок должен закрасить любые две соседние белые клетки. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

• При n=1 первый игрок автоматически проигрывает, поскольку не может сделать ни одного хода.
• При n=2 есть только один ход, который автоматически ведет к победе.
• При n=3 первый игрок может выбрать один из двух различных ходов, и оба они ведут к немедленной победе.
• При n=4 есть три варианта хода. Среди них есть один выигрышный ход, когда игрок закрашивает две средние клетки.
• При n=5 есть четыре варианта хода (они показаны на рисунке красным цветом), но все они ведут к поражению: второй игрок (показан синим цветом) всегда может выиграть.

Таким образом, первые три значения n, при которых первый игрок выигрывает – это 2,3 и 4, а первые два проигрышных значения – это 1 и 5. Третье проигрышное значение n=9, десятое: n=43.

Найдите миллионное значение n, при котором второй игрок всегда может победить.

Рассмотрим игру на прямоугольной клетчатой доске. Одна клетка доски не занята, на остальных стоят фишки. Каждым ходом игрок передвигает на свободную клетку одну из соседних (по вертикали или горизонтали) фишек. В начале игры пустая клетка находится в правом нижнем углу, в левом верхнем углу находится красная фишка, а на остальных клетках стоят синие фишки. Цель игры — переместить красную фишку в правый нижний угол за наименьшее количество ходов. На рисунке ниже показана последовательность ходов для доски 2 х 2.

Пусть S(m,n) -минимальное количество ходов, необходимое для перемещения красной фишки в правый нижний угол для доски m х n. Можно проверить, что S(5,4) = 25.

Существует всего 256 различных досок с сторонами m и n, не превышающими 100, для которых S(m,n) является квадратом натурального числа.

Подсчитайте количество досок со сторонами m и n, не превышающими 10¹⁰, для которых S(m,n) является квадратом натурального числа.