Имеется 100 камней с разными весами от 1 до 100 кг.

Сколько существует способов разбиения их на 2 кучи, при которых общий вес первой превосходит, но не более чем в 2 раза, общий вес второй?

Рассмотрим два треугольника:
A(-340,495), B(-153,-910), C(835,-947)

X(-175,41), Y(-421,-714), Z(574,-645)
Легко проверить, что треугольник ABC содержит начало координат, а треугольник XYZ - нет.

На плоскости заданы 20 точек. Их координаты приведены в таблице:

Сколько треугольников с вершинами в данных точках содержат начало координат?

Группу из 30 студентов нужно разбить на две команды, так чтобы в первой команде было больше студентов, чем во второй, но не более чем в полтора раза. При этом в каждой группе должны оказаться знакомые друг с другом студенты. Знакомство задается матрицей с элементами A_ij (1≤i,j≤30), в которой A_ij=A_ji=1,  если студенты с номерами i и j знакомы, и Aij=Aji=0 - если не знакомы. Также известно, что если i+j и i*j одновременно делятся на 3, то Aij=1, остальные элементы равны нулю. Сколько возможно разбиений на команды?

На рисунке в клетки поля размером 5x5 записаны по спирали последовательно простые числа.

Запишите таким же образом, по спирали, последовательно простые числа в клетки поля размером 100x100. Начиная с левого нижнего поля необходимо пройти в правое верхнее поле, двигаться при этом можно только на одну клетку вправо или одну клетку вверх. Найдите такой путь, что сумма чисел в его клетках является максимальной. В ответ введите эту сумму.

При игре в дартс участники метают три коротких дротика в мишень, разделенную на двадцать равных секторов, которые пронумерованы числами от 1 до 20.

Количество заработанных очков зависит от того, куда дротик воткнулся. Попадание дротика за пределами внешнего красно-зеленого кольца  не приносит очков. Попадание дротика в черный или желтый сектор внутри этого кольца приносит очки в соответствии с номером сектора. Внешнее красно-зеленое кольцо означает удвоение числа сектора, а внутреннее  - утроение. Два концентрических круга в центре мишени образуют "яблочко". Наружный зеленый круг дает 25 очков, а внутренний красный - 50. Он считается двойным (25x2=50).

Существует несколько вариантов игры. В самом распространенном из них игроки в начале игры имеют 301 или 501 очко, а затем последовательно вычитают заработанные очки. Выигрывает тот, у кого останется ровно ноль очков. Однако победа засчитывается только в том случае, если последний бросок, сводящий число очков к нулю, был "двойным", то есть попал во внешнее красно-зеленое кольцо или в красное "яблочко". В противном случае, а также когда после серии из трех бросков получается отрицательная сумма очков или единица, вся серия не засчитывается, и счет остается прежним.

Положение, при котором участник может завершить игру, называют "чекаут" (англ. checkout). Максимальный чекаут возможен при 170 очках: T20 T20 D25 (два попадания с утроением в сектор 20 и одно попадание в красное яблочко).

Есть ровно 11 способов окончить игру при шести очках:

D3   
D1  D2   
S2  D2   
D2  D1   
S4  D1   
S1  S1  D2
S1  T1  D1
S1  S3  D1
D1  D1  D1
D1  S2  D1
S2  S2  D1

Обратите внимание, что серии D1 D2 и D2 D1 считаются различными, поскольку последние броски с удвоением у них различны. Однако комбинации S1 T1 D1 и T1 S1 D1 считаются  одинаковыми. Кроме того, мы не учитываем промахи. D3 считается тем же исходом, что и 0 D3 или 0 0 D3.
Всего существует 42336 различных способов завершить игру. При оставшихся 6 очках можно завершить игру 11 способами, при 8 - 22 способами.
А при каком количестве очков можно завершить игру наибольшим числом способов?

Была исходная последовательность символов:
AAABBABB

В конец этой последовательности дописали ее копию, но развернутую зеркально (символы взяли в обратном порядке). Получилась строка:
AAABBABBBBABBAAA

Эту операцию повторили еще три раза, каждый раз дописывая в зеркальном отображении всю последовательность, полученную на предыдущем шаге. В результате получилась последовательность из 128 символов. В получившейся последовательности заменили все тройки идущих подряд символов BAB на ABA. Эту операцию повторяли до тех пор, пока тройки идущих подряд символов BAB не перестали встречаться в последовательности. Сколько букв B осталось в результирующей последовательности?

Вова и Дима играют в числовую угадайку: Вова задумывает число, а Дима пытается его угадать. После каждой попытки Вова сообщает Диме количество угаданных цифр. Например, Вова задумал число 1234, а Дима предположил, что число равно 2036. Вова сообщает ему, что угадана одна цифра. Действительно, цифра 3 стоит в обоих числах на одном и том же месте. О том, что есть еще цифра 2, которая есть в обоих числах, но на разных позициях, Вова Диме не говорит.
Вчера Вова задумал 5-значное число, и вот как проходила игра:
1) Дима: 90342;  Вова: 2 цифры угаданы
2) Дима: 70794;  Вова: 0 цифр угадано
3) Дима: 39458;  Вова: 2 цифры угаданы
4) Дима: 34109;  Вова: 1 цифра угадана
5) Дима: 51545;  Вова: 2 цифры угаданы
Получив эту информацию, Дима сообразил, что для задуманного числа осталось всего четыре возможности: 31348, 31442, 39345, 39542. Тогда Дима сделал еще один ход:
6) Дима: 12531;  Вова: 1 цифра угадана
и определил загаданное число:  39542, поскольку других вариантов не осталось.
А сегодня игру решили усложнить. Теперь Вова загадал 16-разрядное число. Вот протокол игры:

Дима долго думал и нашел все оставшиеся варианты. Найдите их и вы, а в качестве ответа укажите их сумму.

Булеву функцию с булевыми аргументами можно задать при помощи таблицы истинности. Ниже приведены таблицы истинности для трех функций с двумя аргументами: для конъюнкции (AND), для импликации (=>) и для строгой дизъюнкции (XOR).

Подсчитайте, сколько существует различных булевых функций с шестью аргументами τ(a, b, c, d, e, f), для которых выполняется условие
τ(a, b, c, d, e, f) AND τ(b, c, d, e, f, a XOR (b => c)) = 0
при  любых сочетаниях (a, b, c, d, e, f)?

Вообразите бесконечный в оба конца ряд чаш, перенумерованных целыми числами.

В некоторых чашах лежат бобы. Разрешается делать ходы следующего вида: взять два боба из одной чаши и разложить их в две соседние. Игра заканчивается, когда сделать ход невозможно.

В примере на рисунке в две соседние чаши положили 2 и 3 боба, а остальные чаши оставили пустыми. Как видно, такую игру можно закончить за 8 ходов.

Рассмотрим последовательность целых чисел bi следующего вида:

b0 = 0, b1 = 289, b2 = 145

bi = (bi-1 + bi-2 + bi-3) mod 2013,

где x mod y означает остаток от деления x на у.

Пусть количество бобов в двух соседних чашах определяется числами b1 = 289 и b2 = 145, а остальные чаши в начальном положении пусты. В этом случае игру можно закончить за 3419100 ходов.

Подсчитайте, сколько ходов потребуется для завершения игры , если в начальном положении в чашах с номерами от 1 до 1500 лежит b1, b2, ... b1500 бобов, соответственно, а остальные чаши пусты.

По бесконечной клетчатой доске, клетки которой окрашены в черный или в белый цвет, ползает муравей. Он может двигаться в одном из четырех направлений: вверх, вниз, влево и вправо, с каждым шагом перемещаясь в соседнюю по стороне клетку. При этом муравей соблюдает следующие правила движения:

• Если он находится на черной клетке, он перекрашивает клетку в белый цвет, изменяет направление своего движения на 90 градусов против часовой стрелки и переходит в соседнюю клетку.
• Если он находится на белой клетке, он перекрашивает клетку в черный цвет, изменяет направление своего движения на 90 градусов по часовой стрелке и переходит в соседнюю клетку.

Пусть в начальный момент все клетки доски белые, а муравей находится в точке с координатами x=0 и y=0. Клетки доски ориентированы вдоль координатных осей и имеют единичный размер.
Найдите |x|+|y| после 10¹⁸ шагов.