Рассмотрим последовательные простые числа p₁ = 37 и p₂ = 41. Можно убедиться, что число S = 3441, является наименьшим числом, обладающим следующими свойствами:

1) S кратно p₁, и

2) последние цифры S образуют число p₂.

Для любых последовательных простых чисел p₂ >p₁> 5, можно найти наименьшее натуральное S, обладающее свойствами 1 и 2.

Найдите ∑S для всех пар последовательных простых чисел при 7 ≤ p₁ ≤ 1000000.

Для натуральных чисел x, y, z их суммы и разности x + y, x - y, x + z, x - z, y + z и y - z являются квадратами натуральных чисел. Найдите минимальное значение x + y.

Обозначим через reverse(n) число, состоящее из тех же цифр, что и натуральное число n, но записанных в обратном порядке.

Для некоторых n в десятичной записи суммы n + reverse(n) используются только нечетные цифры. Такие n назовем обратимыми. Например, числа 36, 63, 409 и 904 обратимы, поскольку 36 + 63 = 99 и 409 + 904 = 1313.

Помня, что десятичная запись чисел не может начинаться с нуля, можно подсчитать, что ровно 120 обратимых чисел не превышают тысячи.

А сколько обратимых чисел не превышает 10²¹?

Найти сумму таких натуральных чисел n, для которых n²+1, n²+3, n²+7, n²+9, n²+13 и n²+21 являются последовательными простыми числами, и n < 150 000 000.

Легко видеть, что числа в первых пяти строках треугольника Паскаля не делятся на 5:

Однако, рассмотрев первые сто строк, мы найдем, что 2800 чисел из 5050 кратны пяти.
Сколько чисел в первом миллиарде строк будут кратны пяти?

Посмотрите на таблицу. Легко проверить, что максимальная сумма чисел, стоящих подряд вдоль одного из диагональных направлений, равна 16 (= 8 + 7 + 1).

Давайте теперь рассмотрим ту же задачу для таблицы большего размера. Для этого будем использовать генератор случайных чисел Фибоначчи с запаздываниями:
Для 1≤k≤55, s_k = [100003 - 200003·k + 300007·k³)] (mod 1000000) - 500000.
Для 56≤k≤4000000, s_k = [s_k-24 +s_k-55 + 1000000] (mod 1000000) - 500000.
(Здесь x(mod y) означает остаток от деления x на y).
Например, s₁₀ = -393027 и s₁₀₀ = 86613.

Заполним при помощи первых четырех миллионов чисел этого генератора таблицу 2000×2000. Заполнять таблицу будем последовательно, строка за строкой.
Найдите максимальную сумму чисел, стоящих подряд вдоль какого-либо из диагональных направлений в получившейся таблице.

В числовом треугольнике, составленном из целых чисел, мы хотим найти такой числовой треугольник меньшего размера, чтобы сумма составляющих его чисел была максимальна.
В примере на рисунке красным цветом выделен такой максимальный треугольник. Сумма составляющих его чисел равна 42.

 
Теперь мы хотим решить эту задачу для треугольника побольше. Наш треугольник будет состоять из 1000 строк. Чтобы его заполнить, сгенерируем 500500 псевдослучайных чисел s_k в диапазоне от -2¹⁹ до 2¹⁹, используя следующий линейно-конгруэнтный генератор псевдослучайных чисел:
t := 0
для k от 1 до 500500:
    t := (615949*t + 797807) (mod 2²⁰)
    s_k := t-2¹⁹
Тогда получим: s₁ = 273519, s₂ = -153582, s₃ = 450905,  а исходный треугольник будет выглядеть следующим образом

 s₁
s₂  s₃
s₄  s₅  s₆
s₇  s₈  s₉  s_10
...

Искомый треугольник может начинаться с любого числа и продолжаться сколь угодно далеко вниз, включая в себя два примыкающих элемента из следующей строки, три элемента из строки следующей за нею, и т.д. Определим сумму треугольника как сумму всех входящих в него элементов.
Найдите наибольшую сумму треугольника, для всех треугольников, которые можно построить указанным способом.

Типография каждый день выполняет 16 заказов. Для каждого заказа необходим лист специальной бумаги формата A5.
Каждое утро бригадир открывает новый конверт, содержащий большой лист формата A1.

Он разрезает лист пополам. В результате получается два меньших листа формата A2, один из которых он снова режет пополам, и т.д., пока не получится лист формата A5.
Все неиспользованные листы он складывает обратно в конверт.
Приступая к выполнению следующего заказа, он берет из конверта наугад первый попавшийся лист. Если этот лист имеет формат A5, он сразу же идет в дело. Если же лист окажется больше, к нему применяется та же процедура "половинного деления", что и к исходному листу, пока не получится формат A5, а оставшиеся неиспользованными листы разного формата каждый раз убирают обратно в конверт.
Найдите среднее число раз в году, когда бригадир, открыв конверт, находит там ровно два листа. Считайте, что в году 249 рабочих дней, а результат округлите до целого.

Попробуем записать число 1/3 в виде суммы обратных квадратов различных натуральных чисел. Например, используя числа {2, 5, 6, 10, 15, 30}:

Используя числа до 45 включительно, это можно сделать четырьмя способами. Вот соответствующие наборы чисел:
{2, 5, 6, 10, 15, 30}
{2, 5, 7, 10, 14, 15, 21, 30}
{2, 4, 12, 14, 15, 20, 28, 42}
{2, 6, 7, 9, 10, 12, 20, 28, 35, 36, 45}
Сколькими способами можно записать 1/3 в виде суммы обратных квадратов различных натуральных чисел, не превышающих 80?