Игра проводится по следующим правилам.

Вначале в коробку кладут два шара - синий и красный. За ход предлагается вынуть наугад один из шаров. Затем вынутый шар возвращается в коробку и вдобавок в коробку кладется два шара красного цвета. Таких ходов делается n. Игра считается выигранной, если количество вынутых синих больше чем вынутых красных. Для n=3 вероятность выиграть равна 5/24. Если игра стоит 1 рубль, то максимальный целый выигрыш, который крупье может предложить, чтобы в среднем выигрывать, 4 рубля.

Найдите какой максимальный выигрыш можно предложить для аналогичной игры с 13 ходами.

Радикальное число для числа n, rad(n) это произведение всех различных простых множителей числа n. Например, 504 = 2³*3²*7, и rad(n) = 2*3*7 = 42.
Будем рассматривать тройки натуральных чисел (a, b, c) обладающие следующими свойствами:

1. НОД(a, b) = НОД(a, c) = НОД(b, c) = 1.
2. a < b
3. a + b = c
4. rad(abc) < c

Например, такой тройкой является (5, 27, 32):
НОД(5, 27) = НОД(5, 32) = НОД(27, 32) = 1
5 < 27
5 + 27 = 32
rad(4320) = 30 < 32

Для некоторых c имеется более одной такой тройки (a, b, c). До 10000 таких c всего 15.

Найдите сколько существует c меньших 100000, для которых существует более одной тройки (a, b, c), обладающих описанными выше свойствами.

Наименьшее число единичных кубиков, необходимое, чтобы закрыть поверхность прямоугольного параллелепипеда 3х2х1, равно двадцати двум.

Чтобы добавить второй слой кубиков, закрывающих поверхность полученного тела, понадобится сорок шесть кубиков; для третьего слоя необходимо семьдесят восемь кубиков, а для четвертого - сто восемнадцать кубиков.

Первый слой параллелепипеда 5х1х1 также состоит из двадцати двух кубиков; аналогично первый слой в параллелепипедах 5х3х1, 7х2х1 и 11х1х1 состоит из сорока шести кубиков.

Обозначим за C(n) количество параллелепипедов, содержащих n кубиков в одном из своих слоев. Тогда С(22) = 2, С(46) = 4, С(58) = 5, С(82) = 7.

Оказывается, что сумма всех трехзначных n, для которых С(n) = 5, составляет 930.

Найдите сумму всех пятизначных n, для которых C(n) = 500.

Замощение плоскости правильными шестиугольниками нумеруется начиная с 1 следующим образом: вначале один многоугольник выделяется и обозначается "1", затем против часовой стрелки начиная с направления вверх последовательно нумируется еще слой из 6 правильных многоугольников. И так далее каждый слой. Смотрите иллюстрацию, на ней пронумерованы первые три слоя.

Для каждого числа n найдем модули разности между ним и его шестью соседями. Определим PD(n) количество простых модулей разности среди них.

Например, для числа 8 модули разности такие: 12, 29, 11, 6, 1 и 13. Таким образом PD(8) = 3.

А для числа 17 разности: 1, 17, 16, 1, 11 и 10, то есть PD(17) = 2.

Можно показать, что значения PD(n) не превосходит 3, для любых n.

Выпишите все n делящиеся на 5, начиная с меньших n, для которых PD(n) равно 3. В ответ запишите 1000-е такое n.

Рассмотрим "единичные" числа, числа состоящие из нескольких цифр "1". Обозначим R(k) число состоящее из k единиц; например, R(6) = 111111.

Пусть n - натуральное и НОД(n, 10) = 1. Тогда можно показать, что всегда найдется k, такое что R(k) делится на n, обозначим A(n) минимальное из подходящих k. Например, A(7) = 6, А(41) = 5.

Нас интересует отношение n/A(n). Для n<90, n для которого отношение n/A(n) минимально равно 61. 

Найдите n для которого n/A(n) минимально среди n<1234567.

Рассмотрим степенной ряд AF(x) = x * F₁+x ² * F₂ + x³ * F³ + ... , где через F_k обозначено k-ое число Фибоначчи. (Числа Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... ; то есть F₁ = 1, F₂ = 1, F₃ = 2, F_k = F_k-1 + F_k-2.)
В этой задаче нам интересны такие x, для которых AF(x) является натуральным. Неожиданно
AF(1/2) = (1/2)*1 + (1/2)²*1 + (1/2)³*2 + (1/2)⁴*3 + (1/2)⁵*5 + ...
= 1/2 + 1/4 + 2/8 + 3/16 + 5/32 + ...
= 2

Ниже для первых пяти натуральных чисел приведены соответствующие значения x.

Мы будем называть число AF(x) золотым самородком, если x рациональное, так как с ростом AF(x) они встречаются все более и более редко. Так, например, десятый золотой самородок равен 74049690.
Найдите сумму первых 20 золотых самородков.

Рассмотрим равнобедренный треугольник с основанием b = 16 и боковыми сторонами L = 17.

Применяя теорему Пифагора, видим, что высота треугольника
h = √(17² - 8²) = 15, что на единицу меньше основания.
Для b = 272 и L = 305 мы имеем h = 273, что на единицу больше основания, и это второй по величине равнобедренный треугольник со свойством h = b ± 1.

Найдите сумму периметров десяти наименьших равнобедренных треугольников, для которых h = b ± 1 и b, L натуральные числа.