Diofant.ru:: Список задач для тренировки ума и продления жизни.

Задачи: Математика

Пожалуйста, не пишите нам, что вы не можете решить задачу.
Если вы не можете ее решить, значит вы не можете ее решить :-)

Пред. 1 2 ... 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ... 17 18 Cлед.

Показывать:

все

фильтр

спрятать информацию

+ЗАДАЧА 718. Всех поровну

Задачу решили: 113

всего попыток: 177

Задача опубликована: 28.03.12 08:00

Прислал: katalama

Источник: Всесоюзная математическая олимпиада

Вес: 1

сложность: 2

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: арифметика

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

AStr

Каждый урок учитель опрашивает 9 или, если успевает, 10 учеников. Какое минимальное число уроков должно пройти, чтобы все ученики были опрошены одинаковое число раз, если в классе 33 ученика?

+ЗАДАЧА 721. Число в середине

Задачу решили: 40

всего попыток: 293

Задача опубликована: 04.04.12 08:00

Прислал: katalama

Вес: 1

сложность: 2

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: арифметика

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

0Vlas

Найдите три средних цифры числа (10⁶⁰⁴+1)²⁰¹².

+ЗАДАЧА 740. Вписываем окружности

Задачу решили: 51

всего попыток: 105

Задача опубликована: 22.05.12 08:00

Прислал: Timur

Вес: 1

сложность: 2

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: арифметика

, планиметрия

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

Vkorsukov

В треугольник ABC со сторонами AB=62, BC=962, AC=960, будем вписывать n окружностей одинакового радиуса (n от 1 до бесконечности, натуральное) так, что все они касаются стороны AC, соседних окружностей, а крайние окружности касаются сторон AB и BC соответственно. (см.рис.). Существует конечная последовательность k натуральных чисел a_i {a₁,a₂,a₃,...,a_k} таких, что если вписывать a_i окружностей в данный треугольник, у полученных окружностей радиусы будут натуральными числами. Найдите эту последовательность. В ответе укажите сумму всех ее членов .

+ЗАДАЧА 744. Два пятиугольника

Задачу решили: 15

всего попыток: 727

Задача опубликована: 30.05.12 08:00

Прислал: zmerch

Вес: 1

сложность: 2

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: планиметрия

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

Timur

Площадь выпуклого пятиугольника ABCDE равна 180. На его сторонах AB, BC, CD, DE и EA выбраны точки K, L, M, N и O так, что |AK|/|KB|=|BL|/|LC|=|CM|/|MD|=|DN|/|NE|=|EO|/|OA|=2. Найдите минимальное и максимальное целочисленные значения площади пятиугольника KLMNO. В ответе укажите их произведение.

+ЗАДАЧА 748. Стороны и площадь четырёхугольника

Задачу решили: 66

всего попыток: 88

Задача опубликована: 08.06.12 08:00

Прислал: TALMON

Источник: Литовская математическая олимпиада

Вес: 1

сложность: 2

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: планиметрия

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

0Vlas

Площадь четырёхугольника равна 67. Найдите минимально возможное значение суммы произведений длин его противоположных сторон (т.е. выражения ac+bd, если одна пара противоположных сторон имеет длины a и c, а другая пара - b и d).

+ЗАДАЧА 787. Треугольник и окружность

Задачу решили: 35

всего попыток: 79

Задача опубликована: 07.09.12 08:00

Прислал: Dremov_Victor

Источник: Корейская математическая олимпиада

Вес: 1

сложность: 2

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: геометрия

решать >>

Комментарии: 13

Лучшее решение:

zmerch

В треугольнике ABC

$\angle ABC < 90^\circ, \quad AB = 15, \quad BC = 27.$

Через середину M стороны AC провели прямую l перпендикулярно прямой BC. Прямая l пересекает окружность с центром в точке A и проходящую через точку M в точке $P(\ne M)$ . Рассмотрим окружность, проходящую через точки B и M, центр O которой лежит с точкой A по разные стороны от прямой BC и находится на расстоянии 3 от BC.

Обозначим пересечение этой окружности с прямой l за Q. Найдите площадь треугольника OPM, если PQ = 30.

+ЗАДАЧА 794. Касающиеся окружности

Задачу решили: 26

всего попыток: 91

Задача опубликована: 24.09.12 08:00

Прислал: Dremov_Victor

Источник: Корейская математическая олимпиада

Вес: 1

сложность: 2

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: геометрия

решать >>

Комментарии: 3

Лучшее решение:

Vkorsukov

Описанная окружность $O$ треугольника $ABC$ касается окружности $O'$ в точке $A$ . Пусть прямая $AB$ пересекает окружность $O'$ в точке $D(\ne A)$ ; прямая $BC$ пересекает окружность $O'$ в точке $E$ , лежащей с точкой $C$ по разные стороны от прямой $AD$ , и точке $F$ . Касательная к окружности $O$ в точке $B$ пересекает отрезок $DF$ в точке $K$ , прямая $CD$ пересекает окружность $O'$ в точке $L(\ne D)$ . Найдите величину (в градусах) $\angle CAB$ , если $\angle CFA = 38^\circ$ , $\angle DKB = 47^\circ$ , $\angle CLA = 60^\circ$ .

+ЗАДАЧА 815. Медиана в треугольнике (А. Голованов)

Задачу решили: 68

всего попыток: 69

Задача опубликована: 12.11.12 08:00

Прислал: nauru

Источник: Санкт-Петербургская математическая олимпиада

Вес: 1

сложность: 2

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: планиметрия

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

Sam777e

На стороне ВС трегольника АВС отмечены точки M и N, что CM = MN = NB. К стороне ВС в точке N построен перпендикуляр, пересекающий АВ в точке К. Оказалось что площадь треугольника АМК в 4.5 раза меньше площади исходного треугольника. Найти отношение AB/AC

+ЗАДАЧА 816. Высота трапеции

Задачу решили: 80

всего попыток: 104

Задача опубликована: 14.11.12 08:00

Прислал: pvpsaba

Вес: 1

сложность: 2

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: планиметрия

решать >>

Комментарии: 6