Квадрат имеет сторону длины n, n∈N. Все стороны квадрата разделены точками на единичные отрезки. В этот квадрат вписаны n-1 квадратов, все вершины которых находятся в точках деления. При этом исходный квадрат оказался разделен на части. Для каких простых чисел n, начиная с 2 и не превосходящих 100, число полученных частей в квадрате является простым? В ответе укажите сумму всех таких n.

На рисунке приведен квадрат со стороной 4, в который вписаны 3 меньших квадрата.

Яблоко плавает на воде так, что 1/5 часть яблока находится над водой, а 4/5 - под водой. Под водой яблоко начинает есть рыбка со скоростью 120 г/мин, одновременно над водой яблоко начинает есть птичка со скоростью 45 г/мин. Какая часть яблока достанется рыбке?

На плоскости Вася провел 100 параллельных прямых, Петя провел еще 100 прямых. Все эти 200 прямых разделили плоскость на несколько частей. Какое наибольшее число частей могло получиться у них при делении плоскости этими прямыми?

Например, если мальчики провели по две прямые, то плоскость может быть разделена максимум на 10 частей (см. рис.).

Гирляндой назовем пять единичных квадратов, шарнирно соединенных диагональными вершинами в незамкнутую цепочку, например, пять квадратов нанизанные на нить (на рисунке, слева).

Такие гирлянды легко сворачиваются в фигурки обычного пентамино, например, на рисунке справа показаны I-пентамино и L-пентамино, но можно получить и новые фигурки, как на рисунке самая правая фигурка. Все эти три фигурки отличаются друг от друга положением только одного зеленого квадрата, который поворачивается на угол кратный 90° относительно шарнира. Квадраты могут вращаться вокруг любого своего шарнира. Сколько различных фигурок на клетчатой плоскости можно поочередно сложить из одной гирлянды? Симметричные фигурки и фигурки, полученные поворотом новыми не считаются.

Треугольный планшет – это доска в форме правильного треугольника со штырями, которые вбиты в узлы треугольной решетки. Имеется неограниченное количество резиновых колец, каждое из которых можно натягивать на три близлежащих штыря так, что резинка принимает контур единичного равностороннего треугольника. Требуется надеть на штыри несколько резинок так, чтобы они охватывали все штыри, при этом каждый штырь может охватывать только одна резинка. Размер планшета определяется числом штырей на одной стороне его треугольного поля.

На рисунке приведен планшет 9-го размера, здесь же показано, что на штыри этого планшета можно надеть резиновые кольца так, чтобы выполнялись условия задачи. Выясните, для каких планшетов размером от 2 до 100 можно надеть кольца так, чтобы выполнялись условия задачи. В ответе укажите число таких планшетов. 

Треугольный планшет - это доска в форме правильного треугольника со штырями, которые вбиты в узлы треугольной решетки. Имеется неограниченное количество резиновых колец, каждое из которых можно натягивать на штыри так, что резинка принимает контур равностороннего треугольника. Требуется надеть на штыри несколько резинок так, чтобы они охватывали все шторы и контуры всех возможных равносторонних треугольников, у которых стороны параллельны сторонам треугольного планшета. Размер планшета определяется числом штырей на одной стороне его треугольного поля. Если размер планшета обозначить буквой n, количество надетых резинок N, то возможна такая последовательность: для n=2, 3, 4, 5, ..., для N=1, 5, 13, 27, ... соответственно. Найти n, для которого N/(n-1)=1000. 

Однажды в колхозе некий работник договорился о зарплате за 12 месяцев работы с 1-го Апреля:  800 рублей плюс Кляча, которая стоила всегда в целых рублях, но не более 50-ти! По причине форс-мажора, работник был вынужден уволиться после 7 месяцев работы, и ему заплатили: 490 рублей + Кляча. Всё честно! Сколько рублей стоила Кляча на момент договорённости?

Площадь выпуклого восьмиугольника с углами 135 градусов и вершинами в узлах сетки  равна 12,5 единичных квадратов (см. рисунок).

Сколько аналогичных восьмиугольников площадью 16 единичных квадратов можно разместить на сетке?