Ученику задали напечатать на пишущей машинке подряд первые 2011 натуральных чисел — каждое следующее число на новой строке. Но у пишущей машинки оказалась сломана клавиша с символом 2; и ученик решил пропускать все числа, в записи которых требуется эта клавиша, но напечатать 2011 чисел. Однако он был трудоголиком, вошёл во вкус дела и напечатал 2011·10²⁰ чисел. Какое число было напечатано на последней строке?

В одном шотландском городке стояла школа, в которой учились ровно 12345678910  школьников. У каждого из них был шкаф для одежды — всего 12345678910 шкафов, причём шкафы были пронумерованы числами от 1 до 12345678910. А ещё в этой школе жили привидения — ровно 12345678910 привидений. Каждый школьник, уходя из школы, запирал свой шкаф, а ночью привидения начинали играть со шкафами, то отпирая, то запирая их. Однажды вечером школьники, как обычно, оставили запертыми все шкафы. Ровно в полночь появились привидения. Сначала 1-ое привидение открыло все шкафы; потом 2-ое привидение закрыло те шкафы, номер которых делился на 2; затем 3-третье привидение поменяло позиции (т. е. открыло шкаф, если он был закрыт, и закрыло — если он был открыт) тех шкафов, номер которых делился на 3; следом за ним 4-ое привидение поменяло позиции тех шкафов, номер которых делился на 4 и т. д. Как только 12345678910-ое привидение поменяло позицию 12345678910-го шкафа — пропел петух и все привидения срочно убрались восвояси. Не скажете ли вы, сколько осталось открытых шкафов после посещения привидений?

В оранжерее на космической станции в виде прямоугольника 7¹³×13⁷ расставлены горшки с цветами. На каждом цветке сидит по одной бабочке. Трижды хлопала дверь, и всякий раз каждая из 7¹³×13⁷ бабочек перелетала по диагонали на соседний цветок. После каждого хлопка на некоторых цветах оказывалось по несколько бабочек, а на некоторых — ни одной, и при этом каждая бабочка, в очередной раз перелетая, не возвращалась на свой прежний цветок. Найдите наименьшее возможное число цветов, на которых не сидит ни одной бабочки после трёх хлопков.

Каждую грань параллелепипеда 3х5х7 разбили на единичные квадратики, которые раскрасили в красный, синий и белый цвета так, что квадраты, имеющие общую сторону, оказались окрашены в разные цвета. Найдите наибольшее возможное число красных квадратов.

Мальчики и девочки выбрали каждый по натуральному числу, мальчики - a₁, a₂, ..., a₁₀, девочки - b₁, b₂, ..., b₁₀. Известно, что для чисел выполняются следующие условия:
разница между числами a_i и b_j не меньше 3 для любых i ≠ j,
разница между числами любых двух детей одного пола не меньше 2,
b₁₀ наибольшее среди всех чисел.
Найдите, какое наименьшее значение может принимать b₁₀.

На клетчатой бумаге отмечены точки A и B. Примем длину стороны клетки за 1. Посчитайте количество маршрутов идущих из A в B по сторонам клеток и имеющих длину 11. (Маршрут может менять направление только в углах клеток. Допускаются маршруты, проходящие несколько раз через одну вершину (включая A и B) или сторону клетки.)
 

Найдите сумму всех простых чисел p таких, что число p² + 11 имеет ровно 6 различных делителей (включая единицу и само число).

Множество Q(n) состоит из слов длины 2n, в записи которых ровно n букв A и n букв B, обладающих следующим свойством: для каждого k ≤ 2n среди первых k букв количество букв B не меньше, чем букв A. Найдите мощность Q(8).

На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник 3 на 10 (3 строки и 10 столбцов). Некоторые клетки закрашены. В каждой строке и в каждом столбце есть хотя бы одна закрашенная клетка. Строки содержат 4, 5 и 6 закрашенных клеток. Найти максимальное число закрашенных столбцов (столбец называется закрашенным, если все его клетки закрашены).

Каждый урок учитель опрашивает 9 или, если успевает, 10 учеников. Какое минимальное число уроков должно пройти, чтобы все ученики были опрошены одинаковое число раз, если в классе 33 ученика?