Даны три точки: A = (-20, 0, 0), B = (20, 0, 0), C(0, 20√3, 0). Назовем точку D(x, y, z) подходящей, если расстояние от неё до какой-нибудь из этих трёх точек равно сумме расстояний от D до двух других. Чему равен объём наименьшего шара, содержащего все подходящие точки? В качестве ответа введите целую часть значения объёма.

Пусть R - луч, с вершиной в точке P(0; 0) и проходящий через точку (1013; 1001). M - это множество точек с натуральными координатами, не превосходящими 10¹⁶. Луч R начинает вращаться вокруг своей вершины P по часовой стрелке, пока на нём одновременно не окажутся как минимум 3 точки из M.

На какой угол повернулся луч R к этому моменту? В качестве ответа введите абсолютную величину тангенса этого угла.

Этой ярмарки краски,
разноцветные пляски,
Деревянные качели, 
расписные карусели.

Раскрашиваем полоску из n клеток, слева направо, тремя цветами: красным, зелёным и синим (каждую клетку – одним цветом).

Обозначим f(n) количество раскрасок полоски, удовлетворяющих следующим условиям:

1. Красных и зелёных клеток – поровну.
2. В процессе раскрашивания красных клеток всегда не меньше чем зелёных.
3. Синих может вовсе не быть.
4. Если синие есть, то длины сплошных участков синих возрастают: первый участок – только одна клетка, второй участок – 2 клетки, и т.д.

На рисунке показаны два примера таких раскрасок (из всего f(8)=15 возможных).

Сколько существует правильных раскрасок полоски длиной 19? А длиной 20? В качестве ответа введите сумму этих двух чисел.