На плоскости дана прямая L и не параллельный ей отрезок AB, который не имеет общих точек с этой прямой. Построить на плоскости с помощью циркуля и односторонней линейки точку M, равноудаленную от точек A и B и прямой L. За одну операцию можно либо провести прямую, либо провести окружность (дугу окружности). За какое минимальное количество операций можно построить точку М?

Кубическая решетка из n³ точек, расположенных в форме куба с n точками на ребре, является графом.

Функция f(n) – количество узлов четной степени этого графа. На рисунке показана решетка 3х3х3, в которой черным выделены узлы четной степени, их 13, значит, f(3) = 13. Найдите f(68)/f(8).

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

(|x – a²| + |x + 25|)² – 31(|x – a²| + |x + 25|) – 62a² + 340 = 0

имеет ровно два различных корня. В ответе укажите сумму всех натуральных значений параметра a.

В каждой из двух футбольных командах «МАКСИ» и «МИНИ» по одиннадцать игроков, которые надели майки с номерами от 1 до 11. Тренеры обоих команд построили игроков своих команд в круг. Каждый тренер перемножил номера соседних футболистов своего круга, и сложил полученные 11 произведений. При этом у тренера команды «МАКСИ» получилась наибольшая возможная сумма S, а у тренера команды «МИНИ» получилась наименьшая возможная сумма s. Найдите разность S – s и укажите её в ответе.

Две равные окружности с центрами O₁ и O₂ расположены так, что центр одной из них лежит на другой окружности, точки A и B - общие точки этих окружностей. На бо́льшей дуге AB окружности с центром O₂ отмечена точка M так, что |AM| = 33√3 и |BM| = 3√3. Найдите расстояние между точками O₁ и M.