Сначала напишем на доске две единицы: 1 1. На втором шаге напишем между ними их сумму и получим: 1 2 1. На каждом следующем шаге будем вписывать между всеми соседними числами, написанными на предыдущих шагах, их суммы. Получим: 1 3 2 3 1, 1 4 3 5 2 5 3 4 1, 1 5 4 7 3 8 5 7 2 7 5 8 3 7 4 5 1,... Сколько раз мы напишем число 2009, если будем продолжать эту процедуру до бесконечности?

В центре круглой арены сидит лиса, а на её краю — заяц. Лиса хочет догнать зайца, который мечтает от неё убежать. Лиса может бегать по всей арене, а заяц лишь по её краю. Оба они могут двигаться с одной и той же максимальной скоростью, позволяющей им обежать всю арену по её краю за одну минуту. Через сколько секунд лиса догонит зайца, если их стратегии оптимальны? (Если Вы считаете, что лиса не сможет догнать зайца, то введите 0.)

Пояснения: лиса — это точка на круге, а заяц — на его окружности; на ускорение ограничений нет: желаемую скорость они способны набирать мгновенно.

Существует теория, что ночная бабочка для навигации использует Луну: она летит по прямой, поддерживая постоянным угол между направлением своего полёта и направлением на Луну. Если же она примет за Луну уличный фонарь или другой близкий к ней источник света, то полетит вокруг него по спирали, приближаясь или удаляясь от него. (Пограничный случай полёта по окружности бывает лишь в теории.)

Через сколько секунд ночная бабочка долетит до фонаря, если он находится в 18-ти метрах от неё, летит она со скоростью 1 м/с и поддерживает угол 60° между направлением своего полёта и направлением на фонарь? (Бабочка и фонарь — это точки в пространстве.)

В стране 21 аэропорт. Авиационное сообщение между ними осуществляют несколько авиакомпаний, каждой из которых разрешается совершать любые рейсы между 5 аэропортами. При каком наименьшем числе авиакомпаний можно перелететь из любого аэропорта в любой другой без пересадки?

В далёкой стране к власти пришёл военный диктатор, который хочет стать президентом, победив на демократических выборах, организованных по следующей системе. В первом туре все избиратели объединяются в равные по численности группы, и от каждой группы большинством голосов избирается представитель для голосования во втором туре. Во втором туре все избранные в первом туре представители объединяются в равные группы и в каждой группе выбирают её представителя для голосования в третьем туре. И так далее: в последнем туре представители избирают президента. В стране ровно 5 760 000 избирателей, среди которых n человек безоговорочно поддерживают диктатора (поскольку состоят в регулярной армии). При каком минимальном n можно так организовать выборы, чтобы диктатор гарантированно был избран президентом? (При равенстве голосов в следующий тур проходят независимые кандидаты.)

Диктатор сам заранее определяет количество туров и сколько представителей будут содержать группы в каждом туре — это число может меняться от тура к туру; он также может распределить своих сторонников по группам так, как ему выгодно. Любой избиратель может голосовать за себя, а сам диктатор входит в число n своих сторонников.

Среди участников шахматного турнира юношей было в 7 раз больше, чем девушек, и они вместе набрали в 3 раза больше очков, чем все девушки. Сколько девушек участвовали в турнире? (Турнир проводился по круговой системе: каждый играл с каждым по две партии — одну белыми, а другую чёрными; за выигрыш партии участник получал одно очко, за ничью — 1/2 очка, за проигрыш — 0.)

Хозяйка испекла для гостей пирог. К ней может прийти либо 7, либо 8, либо 9 человек. На какое наименьшее число кусков ей нужно заранее разрезать пирог так, чтобы его можно было поделить поровну и между семью, и между восемью, и между девятью гостями?

На билете лотереи имеется 60 пустых клеток. Участник лотереи записывает в каждую клетку билета по одному числу от 1 до 60 без повторений. (Билет, заполненный с повторениями, считается недействительным.)  Организаторы лотереи по тем же правилам заполняют свой билет–эталон. Выигрывают те билеты, у  которых хотя бы в одной клетке записано то же число, что и в той же клетке билета–эталона. Какое наименьшее число билетов должен заполнить участник лотереи, чтобы обеспечить себе выигрыш независимо от того, как будет заполнен билет–эталон?

Бильярд имеет форму прямоугольного треугольника, один из углов которого равен 30°. Из этого угла в середину противоположной стороны выпущен шар, который при ударах о стенки бильярда отскакивает от них по закону: угол падения равен углу отражения.

Сколько раз шар ударится о стенки прежде, чем попадёт в лузу, находящуюся в вершине угла 60°?