Сани скользят по склону горки вниз без трения (нет потерь энергии) из точки А с координатами(1, 1) в точку О с координатами (0, 0). В первом случае сани скользят по наклонной прямой, а во втором случае по кривой пораболы y=x². В каком случае затрата времени будет меньше. Найти отношении меньшего времени к большему. Ответ укажите в виде десятичной дроби с округлением до третьего знака после запятой.

Равносторонний треугольник разрезан на равносторонние треугольники, которые раскрашены в красный, желтый и зеленый цвета так, что треугольников всех трёх цветов было по два, при этом треугольники одинакового цвета имеют один размер, а треугольники разного цвета – разного размера. Сколько решений имеет задача? Если решений бесконечно много, то введите -1 (минус 1).

Юра хочет разрезать равносторонний треугольник на равносторонние треугольники, которые раскрашены в красный, желтый и зеленый цвета так, что треугольников всех трёх цветов было по три, при этом треугольники одинакового цвета имеют один размер, а треугольники разного цвета разного размера. Сколько решений имеет задача? Если решений бесконечно много, то введите -1 (минус 1).

На окружности расположены точки: 2025 черных и одна белая. Рассмотрим всевозможные многоугольники с вершинами в этих точках. Каких среди них будет больше: с белой вершиной или без неё? В ответе укажите модуль разность между количествами таких многоугольников.

В прямоугольный треугольник вписан квадрат с площадью 4 так, что две его стороны лежат на катетах, а вершина лежит на гипотенузе. Сумма квадратов катетов равна 45. Найти модуль разности квадратов катетов.

У Ильи есть 2003 бумажных равных правильных треугольника. Он может оклеить ими K правильных тетраэдров без наложений и просветов, и при этом все тетраэдры кроме двух будут иметь различные размеры, а два тетраэдра будут одинакового размера: на оклейку каждого из них понадобятся M треугольников.

Найдите максимально возможное значение 1000K+M.

Рассмотрим два варианта условия задачи:

Вариант 1. Не обязательно использовать все треугольники.

Вариант 2. Все треугольники должны быть использованы.

Найдите максимальные значения 1000K+M в обоих вариантах и введите в ответе их произведение.

На какой день недели выходит 1 марта 2110-года по общепринятому григорианскому календарю?

На какой день недели выходит 1 марта 2110-года по юлианскому календарю, используемому православной церковью?

Введите в ответе сумму номеров обоих дней.

Номера дней недели: 1 – понедельник, ..., 7 - воскресенье

Выпишем подряд (по возрастанию) все шестизначные числа, записываемые только цифрами 1, 2, 3, 4, 5 и 6 - повторы разрешены. Какое число будет на 2026-ом месте?

Остап Бендер организует шахматный турнир – уже подтвердили свое участие 8 сильнейших игроков планеты: Ян Непомнящий, Магнус Карлсен, Гукеш, …

Турнир проводится по круговой системе – каждый день с понедельника по воскресенье (включительно) играются 4 микроматча до победного результата по схеме: классика – если ничья, то рапид – ничья --> блиц, ничья – тогда армагеддон, в котором ничьих не бывает. После окончания турнира Остап собирается выпустить отчёт вида «В понедельник свой матч блестяще выиграл . . . !, во вторник убедительную победу одержал . . .!». И так про каждый день. Но не писать же ему одно и тоже имя повторно (Магнус, Магнус, . .) – так зрителей не заинтересуешь, да ведь и выбор есть: ежедневно в наличии 4 победителя! Сможет ли Остап преуспеть в своем желании выпустить отчёт, удовлетворяющий вышеописанному условию?

В качестве ответа введите 1 для «Да» и 0 для «Нет».

Рассмотрим числовую пирамиду (см. схему ниже), построенную по следующему принципу:

в первой строке записана сумма первых 6-ти натуральных чисел;

во второй строке записана сумма первых 66-ти натуральных чисел;
в третьей строке записана сумма первых 666-ти натуральных чисел;
в четвертой строке записана сумма первых 6666-ти натуральных чисел, и так далее.

Вычислите построчные суммы в первых 21-й строках этой числовой пирамиды и сложите их. В ответе укажите сумму цифр полученного числа.