Части разрешается переворачивать ?

Да.

Эти части "подробно рисовать" в качестве "подробного решения", что ли???...

Это на усмотрение администратора!

От администратора ужЕ ждём-ждём ответа на вопрос "Что означает: ...но и подробного решения ???"

Уважаемый администратор! Мы можем резать на любое количество частей, начиная даже с нуля, если определить понятие "части!"

Достаточно ли для "подробного решения" с правильным (точным!) ответом выслать количество "треугольниЧков" в каждой части, из которых получается гексагон??? - Очень надеемся на ответ! (Рисовать не умеем!)

Частичное наложение частей разрешено?...

Поначалу желательно определиться с понятием "части!"

@глубокоуважаемому коллеге MMM
Учиться никогда не поздно . "Учиться, учиться и учиться!" - цитата: кто автор ?

Совет [мы же все из страны советов]:
1. аккуратно перенумеруйте все треугольнички в исходной фигуре удобным для Вас 

и понятным всем остальным (главное - модераторам) образом

[например - слева направо и сверху вниз];

2. перечислите все треугольнички, составляющие каждую часть;

3. для каждой смежной - в новом положении, то есть уже в шестиугольнике - пары частей
скажите номера одной пары смежных треугольничков, чтобы было понятно, как расположены части в шестиугольнике...

И да будет Вам лучшее решение! 

Замечу:  мнится мне, что уважаемый автор знает некий способ разрезания - но не имеет
доказательства минимальности числа частей; по крайней мере, так было в его прошлой
задаче про ёлочку. Рад буду, если на этот раз ошибаюсь.

Не менее глубокоуважаемый Дружище! Спасибо за Грандиозный Совет! (Такой бы и... модератору-администратору!)

Постепенно (step by step - понятно, да?) начнём с конца: относительно "Замечу" отметим: минимальность можно обосновать только при чётком(!) Определении "что же такое часть!" - Ведь мы здесь являемся как математики?! Ну тогда и будем "Учиться, учиться и учиться!" (слова Великого Человека, которому было свойственно и ошибаться как Великому Атеисту!)

ПС: Помянем Великого! - В честь Его дня рождения!

Резать можно только по линиям сетки?

...

Линии сетки приведены для того, чтобы задать пропорции фигуры.

Если получается шестиугольник но некоторые внутренные треугольнички оказываются пустыми, некоторые наложенные на друг друга... это разрешено?... я спрашиваю потому что в постановке об этом ничего не оговарено...

Шестиугольник получается без пустых зон, без наложений.

А что шестиугольник с внутренными пустыми зонами и наложенями разви чем то противоречит Вашей постановке?...

...

... (можно удалить)