Классический "диофантовский" вопрос: У Васи 4 различных..., но тогда Петя тоже пишет на доске(!) обязательно 4 различных... Такое: 2,2,2,2 на доске(!) не может???

Замечу сразу, задачу не решал. Но по тексту, вроде, допускается попарное совпадение Петиных простых чисел. 

Тем более, что текст предложен серьёзным автором.

Необходимо определиться, являются ли слова "произвольные" и "различные" синонимами.

Пожалуй, можно определиться так: Петя пишет на доске некую произвольную "четвёрку" чисел, но при этом каждое число, взятое из  "четвёрки", - простое. Однако Вася, увидев эту четвёрку чисел, пишет свою такую: 4 различных составных числа с их произведением в 1000 раз больше произведения Петиных чисел, но с минимальной суммой! Какова самая минимальная сумма возможна у Васи?

произвольный

 - основанный на произволе
Пример: П. вывод. Произвольные решения.
***
2. - ничем не стесняемый, свободный 
Пример: Произвольные движения. Произвольная программа (в гимнастике, фигурном катании, синхронном плавании: составленная самим спортсменом).

Ефремова Т.Ф. Толковый словарь русского языка.

произвольный

прил.
1) Зависящий от воли, сознания.
2) Действующий по произволу; основанный на личном произволе.
3) устар. Ничем не стесняемый, не принуждаемый; добровольный.
4) Не вытекающий из чего-л. с необходимостью; необоснованный, случайный.

ПРОИЗВОЛЬНЫЙ == ЛЮБОЙ

Так-то оно так! Однако нужно учитывать КОНТЕКСТ, в котором имеем слово "произвольнЫХ." - Одно дело, когда "произвольно" в голове у Пети,  а другое, когда "произвольно" НА ДОСКЕ! Если 2,2,2,2 на ДОСКЕ, тогда имеем 4 штуки двоек - 4 одинаковых числа. Но у Пети в голове  лишь ОДНО число - двойка (которую он получил...)!

Ничего подобного! У Пети в голове 4-хмерный вектор, все координаты которого принадлежат множеству простых чисел.

"множеству произвольных(???) простых чисел" - что же это такое: "произвольное" простое число?...

Возможно у Пети ЕДИНСТВЕННЫЙ "вектор" (2,2,2,2), который он получил по 4-ём предметам...

У Пети - произвольный единственный вектор