Если число A имеет k>1 представлений в виде A=m²+mn+n², то в произведение число A  нужно включать k раз или, всё же, один?

Если k раз для m и n, удовлетворяющих условию - то да,  k раз.

Спасибо. Я думал, как раз, наоборот.

Здесь подразумевается такое условие:

Пусть N равно произведению чисел (n²+nm+m²) для всевозможных пар (m,n) натуральных чисел таких, что  1 ≤ n < m  ≤ 100. Чему равен остаток от деления N на 101?

Оно несколько отличается от приведенного...

Т.е. нужно учесть ещё и то, что m,n - именно натуральные?... Пожалуй, нужно так уточнить:

Пусть N представимо в виде произведения всевозможных множителей вида nn+nm+mm, где n,m - натуральные и такие, что 1≤n<m≤100. - Здесь подразумевается то, что некоторые множители, заданного вида, могут оказаться одним и тем же числом. (Например, 91 именно в качестве множителя должно появиться два раза, хотя нету двух 91 в натуральном ряду...)

Я согласился бы с Вами, если бы не было комментария в скобках.

В скобках??? Однако имеем: 91 = 25+30+36 = 1+9+81 ???

Всё это понятно. Дело в том, что разжёвывание словесных оборотов может навести на какой-то, возможно, другой смысл. И такие туманные замечания, например, как "нету двух 91 в натуральном ряду" могут навредить.

По крайней мере, школьникам нужно "разжёвывать", что 91·91 - это частный случай произведения (nn+nm+mm)(nn+nm+mm) числовых  значений при n=1,5, m=9,6 в качестве двух сомножителей. Однако всякое "квадратное" разложение на множители (N=91·91, в частности)  НЕ называется произведением (якобы двух?) чисел (в отличие от таких разложений N=N·1 и N=49·169). Иначе, "можно навредить!..."

(К тому же, такой подход к "уточнениям" позволяет "правильно" определять понятие простого числа в числовых кольцах, в частности,  в кольце целых чисел, в котором уже две "единицы" -1 и 1)