img img img img img img img img img img img img img img img img img img img img img img
Логотип Человек живет, пока думает.
Решайте задачи и живите долго!
Для участия в проекте необходимо
и достаточно зарегистрироваться!
Rss Регистрация || Вход
Вход
Diofant.ru
Картинка
Отражение Отражение Картинка Картинка
отражение
Лента событий: vochfid решил задачу "Переставляем 8" (Математика):
+ 0

Задача 534. Диспансеризация овец

постоянный адрес задачи: http://www.diofant.ru/problem/2530/
показать код для вставки на свой сайт >>
Задачу решили: 0
всего попыток: 1
поделиться задачей:

Задача опубликована: 09.12.13 08:00
Прислал: admin img
Источник: Проект "Эйлер" (http://projecteuler.net)
Вес: 1
сложность: 2 img
баллы: 100

Известно, что некий вирус поражает 2% овец. Ветеринару нужно выявить зараженных животных в стаде из 25 голов. При этом в его распоряжении имеется достаточно дорогой, но очень чувствительный метод анализа, позволяющий обнаруживать инфекцию в крови при крайне низких ее концентрациях.

Чтобы сэкономить дорогостоящие реактивы, ветеринар решил не проверять каждую овцу, а разработал следующую программу действий:
Он разбил стадо на 5 групп по 5 овец в каждой. Пробы крови для каждой группы были объединены и проанализированы. Затем, если в объединенной пробе вирус не обнаружен, все овцы из данной группы считаются здоровыми. В противном случае анализируются пробы крови для каждого из пяти животных группы.
Поскольку вероятность заражения отдельной овцы равна 0,02, первый тест для каждой группы даст
• Отрицательный результат с вероятностью 0,985 = 0,9039207968. Для такой группы дополнительные тесты не понадобятся.
• Положительный результат с вероятностью 1 - 0,9039207968 = 0,0960792032. Для такой группы потребуется проанализировать еще 5 отдельных проб.
Тогда ожидаемое количество анализов для каждой группы составит 1 + 0,0960792032 × 5 = 1,480396016, а для всего стада – 1,480396016 × 5 = 7,40198008 тестов, то есть экономия составит более 70%!
Однако это не предел. Алгоритм можно еще усовершенствовать следующим образом:
• Сначала можно проанализировать объединенную пробу для всех 25 овец. Легко проверить, что примерно в 60,35% случаев результат будет отрицательный, и дальнейшее исследование не потребуется.
• Если групповая проба для 5 овец была положительной, и первые четыре овцы из группы оказались здоровы, то пятую можно не проверять – она наверняка инфицирована.
• Можно попробовать поварьировать размер и количество групп. Это позволит минимизировать ожидаемое количество анализов.
Чтобы не усложнять задачу, мы несколько ограничим круг рассматриваемых алгоритмов. Мы примем следующее дополнительное правило: если проанализирована объединенная проба для группы овец, то овцы, не входящие в данную группу, не исследуются, пока не поставлен окончательный диагноз каждой овце из данной группы.
Оставаясь в рамках данного правила, мы можем найти оптимальную стратегию, позволяющую ограничиться всего 4,155452 тестами в среднем для стада из 25 овец и вероятности заражения 0,02.
Обозначим через T(s,p) ожидаемое количество тестов при использовании оптимальной стратегии, когда стадо состоит из s овец, а вероятность заражения отдельной овцы равна p.
Тогда T(25, 0,02) ≈ 4,155452 и T(25, 0,10) ≈ 12,702124.
Найдите p, для которого T(10000, p)=5000. Результат умножьте на миллион и округлите вниз до целого.

 
Пожалуйста, не пишите нам, что Вы не можете решить задачу.
Если Вы не можете ее решить, значит Вы не можете ее решить :-)

Обсуждение Правила >>

Внимание! В обсуждении задачи запрещено публиковать ответы и давать подсказки.
 
Внимание! Если Вы увидите ошибку на нашем сайте, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.