Найти наименьшее натуральное число n для которого 2ⁿ + 3 делится на простое число 625406681329.

Найти наименьшее натуральное число, которое при делении на 123 дает остаток 12, при делении на 239 дает остаток 57, при делении на 361 - остаток 239, при делении на 566 - остаток 361, а при делении на 1237 - остаток 566.

В игре "Пятнашки" необходимо в квадратной коробке размера 4х4 переставить пятнадцать произвольно расположенных плашек по порядку, при этом единственным разрешенным действием является перемещение одной из плашек в соседнюю незанятую в коробке позицию (http://ru.wikipedia.org/wiki/Пятнашки). Определите, за какое минимальное количество ходов можно решить данную головоломку при следующем начальном расположении плашек в коробке (незанятая позиция обозначена числом 0):

5 13 2 9 

11 15 7 10 

0 8 12 14 

3 6 4 1

Найти вторую цифру числа 2²⁰⁰⁹.

Пусть A₁=2009, ..., A_k+1=2009^A_k.
Найти последние 40 цифр числа A₂₀₀₉.

На шахматную доску расставляются различные фигуры - кони, слоны, ладьи, ферзи и короли, при этом каждая фигура присутствует хотя бы один раз и ни одна фигура не находится под боем остальных. Какое максимальное количество фигур можно разместить таким образом?

Найти минимальное 24-значное число a₁a₂a₃...a₂₄, которое удовлетворяет следующим условиям:

a₁ делится на 1;

a₁a₂ делится на 2;

a₁a₂a₃ делится на 3;

...

a₁a₂a₃...a₂₄ делится на 24.

Одна из систем защиты банковских терминалов устроена следующим образом:

Пользователю сообщается пин-код состоящий из некоторого количества цифр, каждый раз при входе пользователя просят ввести в терминал несколько конкретных символов. Например, для пин-кода 54321 могут попросить ввести 1-й, 3-й и 5-й символы (номера символов всегда возрастают, то есть нужную часть пин-кода можно получить «выкидыванием» оставшихся символов). В этом случае пользователю для авторизации надо ввести '531'. Таким образом просто подсмотрев то, что ввел пользователь злоумышленник не сможет получить доступа. Вам удалось проследить приличное количество авторизаций одного пользователя, хотя Вы и не знаете какие цифры просили вводить. Найдите подходящий пин-код минимальной длины.

Вот лог авторизаций:

'219', '319', '315', '387', '365', '417', '397', '165', '319', '420', '489', '469', '019', '286', '238', '495', '038', '316', '095', '415', '435', '431', '426', '423', '206', '409', '215', '869', '295', '416', '089', '015', '219', '289', '285', '269', '867', '495', '695', '067', '157', '386', '157', '019', '897', '189', '407', '189', '089', '426'

Какое минимальное количество ходов конем необходимо сделать для того, чтобы пройти через все поля шахматной доски? (Начинать можно с любого поля). 

Дана таблица из чисел, надо найти разность минимальных путей от верхней границы до нижней и от левой границы до правой. Для движения от верхней границы возможны только движения: вправо, вниз и влево. Длина пути считается так: сумма всех чисел в клетках через которые мы проходим. Для движения от левой границы к правой возможны движения: вверх, вниз и вправо. Путь от верхней границы до нижней — это путь начинающийся в любой из клеток первой строчки и заканчивающийся в любой из клеток последней строки таблицы. В ответ выведите разность длины минимального прохождения квадрата сверху вниз и слева направо(разность найденных минимальных путей).

Пример для таблицы 4 на 4:

40,35,13,32
60,58,40,20
83,18,11,53
72,50,85,75

Длина минимального пути сверху-вниз: 13+40+11+18+50 = 132. Длина минимального пути слева-направо: 40+35+13+32 = 120. Разность 12.

Найдите разность для таблицы размера 40 на 40:

39,27,46,53,47,35,91,17,91,87,34,83,96,68,62,63,18,16,44,15,48,92,23,98,50,63,59,54,83,65,46,46,68,70,51,96,51,78,48,67

89,15,80,97,44,34,22,43,33,11,69,42,45,46,43,74,58,37,31,66,82,39,77,36,85,15,54,24,84,18,58,57,86,29,50,59,79,30,98,84

30,94,97,70,68,31,56,12,48,78,45,92,80,22,88,36,32,49,29,67,62,15,80,84,72,17,29,17,23,62,40,38,86,39,38,78,46,33,83,13

86,85,73,89,60,19,56,71,31,25,43,52,80,37,77,55,38,60,50,44,69,43,47,32,76,23,45,89,44,82,24,42,75,34,50,93,83,22,22,48

99,63,77,57,77,70,31,39,45,18,95,40,84,97,80,92,31,82,37,79,18,68,71,35,56,15,77,73,99,26,87,10,15,40,45,52,22,10,90,86

97,56,86,80,17,19,76,14,77,66,80,97,89,67,69,26,48,67,98,38,62,94,47,97,35,63,78,80,64,80,28,67,11,18,37,16,36,91,99,32

29,72,28,84,32,47,33,69,37,95,83,10,71,94,30,17,58,75,40,72,68,50,25,27,79,81,77,20,63,44,67,41,86,43,18,70,18,92,39,64

27,16,32,91,94,83,80,60,21,81,21,74,88,66,15,76,86,68,35,87,34,90,52,93,98,16,20,13,17,95,70,85,38,23,19,58,53,52,25,70

93,12,26,98,89,78,64,66,11,91,87,17,70,48,38,30,82,42,63,66,33,31,32,96,13,26,63,82,79,41,95,74,62,70,38,82,84,29,68,97

37,11,94,81,97,67,98,92,15,37,67,55,91,79,50,37,71,93,92,11,24,36,40,63,39,68,81,55,30,39,13,49,54,81,73,44,76,42,52,52

87,29,83,51,32,67,57,26,67,34,57,81,61,98,39,88,63,91,46,40,30,44,57,83,72,48,98,16,84,11,64,43,94,69,28,14,79,12,14,94

35,25,17,84,64,55,75,30,38,63,85,91,11,84,13,69,79,93,16,34,61,36,21,68,86,15,32,86,19,84,34,97,98,16,45,73,61,86,14,91

67,53,68,89,57,93,93,90,78,25,85,74,64,82,26,29,46,15,34,95,87,84,75,89,67,69,87,75,23,49,57,20,42,43,51,30,41,62,85,38

52,38,31,13,35,97,45,99,63,83,20,97,20,68,77,89,29,55,43,71,45,36,19,89,59,54,89,35,56,90,10,55,12,10,31,12,25,61,17,40

95,57,98,21,93,99,36,29,52,68,93,52,27,70,95,66,50,35,21,17,35,94,69,99,98,39,92,23,52,22,24,57,32,82,22,56,33,22,92,53

98,51,78,39,46,69,32,38,20,85,31,44,14,34,35,36,62,36,22,25,43,26,80,53,27,34,46,63,33,49,47,52,34,54,63,30,25,52,10,89

33,56,43,25,63,94,80,51,86,74,12,80,96,71,21,77,68,38,86,89,48,26,83,40,78,12,89,32,14,78,66,71,77,15,17,70,79,83,24,56

59,35,12,84,89,54,87,85,31,46,33,29,20,71,30,86,15,13,31,89,61,52,10,60,96,94,90,44,79,89,63,58,67,14,63,56,21,91,44,65

87,43,40,12,10,96,64,80,96,18,33,34,38,86,43,65,67,54,92,17,52,13,69,88,69,67,31,18,41,73,48,39,23,81,61,24,49,71,32,28

70,26,14,41,70,92,21,88,92,99,52,58,47,75,21,66,39,64,20,77,82,88,62,81,17,45,36,88,22,10,69,70,49,82,15,30,14,29,40,45

27,11,97,27,65,44,38,37,63,13,91,89,29,28,80,89,69,83,17,93,84,84,88,27,28,61,90,83,76,68,83,23,38,14,88,78,35,81,87,29

82,41,69,77,26,23,11,79,29,31,34,90,30,52,38,13,69,17,62,82,87,13,85,47,12,99,12,90,67,23,80,99,52,20,76,33,34,34,89,14

77,11,16,31,71,59,42,99,45,54,91,83,62,49,86,49,75,75,17,63,69,84,77,73,23,44,51,25,39,76,77,13,92,56,60,43,56,54,47,21

48,29,99,67,74,23,93,97,56,86,22,79,34,56,69,32,75,12,55,83,57,42,30,62,33,49,82,65,48,60,93,83,24,98,47,53,58,51,12,40

11,79,29,16,84,86,17,97,47,90,31,50,35,82,77,81,97,67,71,20,60,81,82,28,82,20,99,98,99,31,83,73,13,49,72,58,36,42,74,89

30,54,20,40,33,98,99,88,69,58,77,46,75,23,10,57,72,19,16,25,23,21,87,68,77,91,75,36,61,74,19,54,31,57,91,26,90,42,19,83

89,24,39,90,55,84,58,13,85,59,62,31,42,71,48,37,42,48,78,93,96,53,98,90,75,11,36,51,51,17,54,10,47,74,11,81,29,38,50,76

19,95,10,25,23,50,59,75,18,20,62,16,86,21,86,50,67,32,74,73,49,76,62,84,24,88,40,62,51,75,90,84,54,16,55,78,94,60,24,55

48,80,37,52,29,93,34,56,87,28,36,82,28,60,98,46,94,95,66,39,91,57,94,75,47,65,97,57,78,23,34,77,30,62,20,71,82,56,55,36

10,84,37,60,55,68,59,28,32,44,36,40,32,99,61,85,38,20,51,21,57,75,65,44,52,99,85,16,98,16,39,36,24,25,87,95,34,50,95,17

36,74,37,83,66,25,19,97,92,93,19,67,93,73,45,53,68,71,95,27,17,68,53,60,43,87,78,72,64,61,76,74,66,58,86,42,76,64,13,40

46,14,35,80,40,27,44,76,61,59,77,25,32,72,20,21,31,43,40,28,45,38,59,12,10,26,21,17,90,85,20,43,65,40,49,50,87,70,36,36

97,76,47,93,58,30,31,85,46,86,26,77,81,99,44,33,61,84,33,48,88,23,85,57,75,92,55,24,36,74,52,21,58,50,93,91,27,39,40,44

57,91,68,51,63,54,27,18,28,53,77,74,84,14,94,33,73,85,38,15,37,69,54,83,77,29,77,99,11,30,15,88,18,18,88,51,66,51,77,76

81,42,74,63,79,67,11,74,82,10,25,39,24,74,74,20,42,21,81,75,37,65,82,10,42,87,90,20,29,44,40,41,65,48,43,62,64,71,33,66

33,14,31,17,41,40,81,58,23,39,67,54,61,71,65,49,32,31,98,54,46,65,46,81,44,17,39,47,74,94,45,36,14,65,70,11,42,29,23,12

22,13,50,13,62,99,67,22,72,10,76,89,24,13,30,23,37,86,11,99,58,23,31,95,95,52,95,70,36,13,59,46,61,64,24,78,76,18,94,20

12,57,68,56,10,27,33,20,63,44,47,32,95,60,61,76,27,28,77,76,76,30,97,77,65,70,40,24,63,23,69,26,61,76,15,33,13,92,72,31

68,63,23,84,14,14,83,87,17,56,57,54,61,10,37,85,58,79,89,96,65,80,84,48,97,26,42,41,42,14,45,37,21,14,47,65,98,61,70,36

68,83,10,18,86,22,39,43,64,47,72,27,10,75,22,26,17,36,97,22,47,53,65,49,50,60,99,29,29,82,24,95,60,38,73,70,49,15,53,45