На листке написано несколько различных действительных чисел. Среди любых трёх из них обязательно найдутся два, сумма которых тоже написана на листке. Какое наибольшее количество чисел может быть на листке?

Имеется число из 11 цифр, среди которых нет нулей. Все его цифры переписали в обратном порядке и получившееся число вычли из исходного. Найдите наименьшее положительное число, которое могло получиться в результате.

Шла торговка на рынок продавать пирожки. По дороге она проголодалась и съела сначала пирожок и половину остатка, затем ещё пирожок и пол-остатка, затем ещё пирожок и пол-остатка. А затем по дороге воры украли 7 пирожков и пол-остатка. На рынок торговка принесла 1 пирожок. Сколько пирожков было?

Сколько понадобится четвёрок, чтобы записать в десятичной системе счисления все натуральные числа от 1 до 1111111111? (Последнее число состоит из 10 единиц.)

Пусть — многочлен от переменной с чётными целыми коэффициентами, и   — такие целые числа, что . Найдите наибольшее возможное значение разности .

Десятизначное число составлено следующим образом: первая цифра равна количеству единиц в этом числе, вторая цифра — количеству двоек и т.д., десятая цифра — количеству нулей. Найдите сумму всех таких чисел.

Определим две последовательности многочленов: S₀(x)=C₀(x)=1, C₁(x)=x, S_n+1(x)=C_n+1(x)+xS_n(x), C_n+2(x)=xC_n+1(x)+x²S_n(x)−S_n(x). Сколько различных действительных корней имеет многочлен C₂₀₁₁(x) в интервале (−1/2, 1/2)?

Ученику задали напечатать на пишущей машинке подряд первые 2011 натуральных чисел — каждое следующее число на новой строке. Но у пишущей машинки оказалась сломана клавиша с символом 2; и ученик решил пропускать все числа, в записи которых требуется эта клавиша, но напечатать 2011 чисел. Однако он был трудоголиком, вошёл во вкус дела и напечатал 2011·10²⁰ чисел. Какое число было напечатано на последней строке?

В одном шотландском городке стояла школа, в которой учились ровно 12345678910  школьников. У каждого из них был шкаф для одежды — всего 12345678910 шкафов, причём шкафы были пронумерованы числами от 1 до 12345678910. А ещё в этой школе жили привидения — ровно 12345678910 привидений. Каждый школьник, уходя из школы, запирал свой шкаф, а ночью привидения начинали играть со шкафами, то отпирая, то запирая их. Однажды вечером школьники, как обычно, оставили запертыми все шкафы. Ровно в полночь появились привидения. Сначала 1-ое привидение открыло все шкафы; потом 2-ое привидение закрыло те шкафы, номер которых делился на 2; затем 3-третье привидение поменяло позиции (т. е. открыло шкаф, если он был закрыт, и закрыло — если он был открыт) тех шкафов, номер которых делился на 3; следом за ним 4-ое привидение поменяло позиции тех шкафов, номер которых делился на 4 и т. д. Как только 12345678910-ое привидение поменяло позицию 12345678910-го шкафа — пропел петух и все привидения срочно убрались восвояси. Не скажете ли вы, сколько осталось открытых шкафов после посещения привидений?

Утроенная сумма двух положительных чисел не больше их произведения. Найдите наименьшее значение суммы этих чисел.