При каком n в классе из n учеников вероятность наличия двух учеников, которые празднуют свои дни рождения в один и тот же день, наиболее близка к 1/2?

В шляпе лежат 5 карточек: у одной обе стороны красные, у другой обе стороны чёрные, а у каждой из трёх остальных одна сторона красная, а другая чёрная. Все стороны всех карточек можно отличить друг от друга только по цвету. Закрываем глаза, наудачу вытаскиваем одну карточку и кладём её на стол. Открываем глаза и видим, что её верхняя сторона — красная. Сколько процентов составляет вероятность, что её нижняя сторона  — тоже красная?

Вы — участник всем известной телевизионной игры, и Вам нужно выбрать одну из трёх шкатулок, в одной из которых находится Приз. Вы выбираете одну из шкатулок, например, №1, после чего всем известный ведущий, который знает, где Приз, открывает одну из оставшихся шкатулок, например, №3, где Приза (естественно) нет. После этого он спрашивает Вас, не желаете ли Вы изменить свой выбор и вместо шкатулки №1 выбрать шкатулку номер №2. Какова максимальная вероятность выбрать шкатулку с Призом при таких условиях игры? (Ответ представьте в виде несократимой дроби вида p/q, где p и q — натуральные числа.)

Перед Вами две урны, в которых лежат 20 белых и 20 чёрных шаров, но сколько и каких шаров лежат в каждой урне — неизвестно. Вы наудачу выбираете урну, а затем извлекаете из неё шар. Зависит ли вероятность извлечь белый шар от того, как первоначально разложены шары в урнах? В ответе введите максимальное значение этой вероятности в виде несократимой дроби p/q, где p и q — натуральные числа.

Припишем каждой букве русского языка свой номер: А–1, Б–2, ..., Я–33 (включаем все: Ё, Й, Ъ, и т.д.). Попытаемся разместить на плоскости несчётное множество букв А, несчётное множество букв Б, и так до буквы Я. Одинаковые буквы могут быть разного размера, но не могут иметь общих точек. Укажите сумму номеров букв, для которых это можно сделать.

Замечания: 1) Каждая буквая — это объединение точек, отрезков и дуг окружностей; у букв нет никаких украшений, закорючек и выступов, например, буква Г состоит из двух отрезков, образующих прямой угол, буква Д — это буква П (три отрезка), стоящая на подставке, похожей на П, но более широкой и низкой, буква К — угол, примыкающий к отрезку, буква Ж — симметрия с буквой К, буква О — объединение четырёх дуг окружностей, буква З — правая половина конструкции из двух касающихся равных окружностей, стоящих друг на друге, буква Й — дуга над тремя отрезками, буква С — три дуги от буквы О, буква Р — конструкция из двух отрезков и дуги окружности, примыкающая к вертикальному отрезку вверху и посередине, буква Л — два отрезка, образующие острый угол, и т.д. 2) Бесконечное множество называется несчётным, если оно не допускает взаимно однозначного отображения на множество натуральных чисел. Например, числовая прямая, отрезок ненулевой длины, окружность и плоскость представляют собой несчётные множества точек. Ну, а рациональные числа образуют, наоборот, счётное множество.

Кот Матроскин и пёс Шарик договорились встретиться возле большого дуба в течение 25 минут, чтобы вместе отправиться за кладом. Было условлено, что каждый будет ждать ровно 10 минут — ведь очень хочется выкопать сокровища поскорее. Сколько процентов составляет вероятность того, что друзья откопают клад вдвоем, при условии, что все моменты появления каждого из них в течение оговоренных 25 минут равновероятны. (Точнее, моменты их появления — независимые равномерно распределённые случайные величины.)

Три студента живут в одной комнате в общежитии. К концу месяца они испытывают серьезные финансовые затруднения и решают  «сброситься», чтобы на собранную сумму купить необходимые продукты. Нужно собрать 1000 рублей. Каждый заявляет, что уж 500 рублей у него есть. Но, скорее всего, они преувеличивают: реальное количество денег у каждого из них может с равной вероятностью и независимо от других оказаться любой суммой от сушеного комара в кошельке до заявленного максимума в 500 рублей. Сколько процентов составляет вероятность продовольственного кризиса для бедняг-студентов в данных обстоятельствах? (Ответ округлите до ближайшего целого числа.)

Лектор роняет указку, она падает с кафедры и ломается на три куска. Найдите вероятность того, что из обломков можно сложить треугольник. (Считать, что места разломов — независимые случайные величины, равномерно распределённые по длине целой указки.)

Если в мешке находится по 3 шара черного, белого и красного цвета, как известно, вероятность вытащить два шара, например, красного цвета в этом случае равна P_к=3/9 ·2/8=1/12, а вероятность выташить наугад два шара любого одинакового цвета P=1/4.

В нашем мешке находится некоторое количество x=n·m шаров: n различных цветов, а шаров каждого цвета ровно m штук. Нетрудно посчитать вероятность P₁ выташить два шара любого одинакового цвета для этого случая. Когда в мешок добавили 52 шара нового цвета, которого в мешке не было оказалось, что вероятность P₂ (для нового количества шаров и цветов) вытащить два шара одинакового цвета не изменилась, и осталось той же, что была до добавления шаров нового цвета. То есть P₁=P₂. 

Сколько всего x шаров могло находиться в таком мешке? (до добавления 52 шаров). Если вариантов x_i несколько, в ответе укажите сумму всех вариантов. Необходимо учитывать разумные ограничения, что m>1 и n>1.

С вершины небольшой горы к ее подножью проложена железная дорога с боковым тупиком, вмещающим 10 вагонов. Все возможные направления движения показаны на картинке стрелками.

На вершине горы находятся 10 вагонов с номерами от 1 до 10, но их порядок неизвестен. Работа машиниста Вовы - свозить по одному вагоны так, чтобы внизу они оказались в обычном порядке: 1, 2, ..., 10. Для сортировки можно пользоваться тупиком. На картинке показаны два случая, когда всего 5 вагонов - в одном варианте Вова может выполнить задание, в другом - нет. Найдите вероятность того, что Вова не сможет выполнить задание (для 10 вагонов).