Если существует взаимно однозначное соответствие между элементами двух множеств A и B, то говорят, что эти два множества имеют одинаковую мощность.

Иначе, одно из них обязательно имеет одинаковую мощность с каким-то подмножеством другого множества. Тогда говорят, что первое множество имеет меньшую мощность, чем второе.

Рассмотрим следующие множества:

1. Множество точек интервала (0, 1).
2. Множество точек отрезка [0, 1].
3. Множество точек шара x² + y² + z² < 5².
4. Множество всех вещественных чисел.
5. Множество всех вещественных функций, определённых на [0, 1].
6. Множество всех непрерывных вещественных функций, определённых на [0, 1].
7. Множество всех положительных чётных чисел, меньших ста.
8. Множество всех положительных нечётных чисел, меньших ста.
9. Множество наибольшей мощности непересекающихся букв Т на плоскости.
10. Множество наибольшей мощности непересекающихся букв М на плоскости.

Замечание. Здесь "буква Т" состоит из двух отрезков нулевой ширины, а "буква М" – из четырёх таких отрезков.

Дополните следующую таблицу

крестиками во всех клетках, стоящих на пересечении i-й строки и j-го ,столбца, если множества с номерами i и j имеют одинаковую мощность.

Сколько всего крестиков окажется в таблице?

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 1 проведен отрезок, соединяющий вершину A куба с центром грани A₁B₁C₁D₁. Этот отрезок начинает непрерывно «скользить» своими концами по двум скрещивающимся диагоналям AC и B₁D₁ противоположных граней куба, не меняя своей длины. Двигаясь таким образом, отрезок охватывает объёмную фигуру, изображенную на рисунке.

Найдите площадь проекции S этой фигуры на нижнюю грань куба. В качестве ответа введите [100 000 000*S], где [x] целая часть числа.

Даны три попарно касающиеся внешним образом окружности. Построить окружность, которая касается их всех внутренним образом.

Сделайте это геометрической линейкой и евклидовым циркулем за как можно меньшим числом шагов (1 шаг - либо прямая, либо окружность, построенная евклидовым (схлопывающимся) циркулем.

На каждом из трех рисунков 1-3 в прямоугольной системе координат Oxy изображены парабола и прямая.

На каком из этих рисунков изображены график квадратного трехчлена и график его производной.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 1 проведен отрезок, соединяющий вершину A куба с центром грани A₁B₁C₁D₁. Этот отрезок начинает непрерывно «скользить» своими концами по двум скрещивающимся диагоналям AC и B₁D₁ противоположных граней куба, не меняя своей длины. Двигаясь таким образом, отрезок охватывает объёмную фигуру, изображенную на рисунке.

Найдите площадь проекции S этой фигуры на боковую грань куба. В качестве ответа введите [100 000 000*S], где [x] целая часть числа.