Даны чашечные весы, имеющие особенность — они могут выдержать ровно 3 взвешивания (неважно в каком порядке) неравных грузов, после чего ломаются. Одинаковые веса можно уравновешивать на этих весах бесконечное количество раз. Среди N монет есть одна фальшивая, вес которой меньше настоящих. Найдите максимальное N при котором можно найти фальшивую не более, чем за 7 взвешиваний на этих весах.

У Вас есть 10 одинаковых стеклянных шариков. Вы бросаете их — можно по одному — с разных этажей 10¹⁵-этажного небоскрёба, чтобы выяснить, на каком этаже они начинают разбиваться от падения. (Например, на пятом уже разбиваются, а на четвёртом еще нет.) Разрешается сделать не более n бросков и разбить все 10 шариков. Найдите минимальное значение n, при котором ещё возможно гарантированно определить, при броске с какого именно этажа шарики начинают разбиваться. Учтите, что шарик может разбиться и на первом этаже, а может не разбиться и на последнем.

Среди X монет одна фальшивая (более лёгкая). Известно, что её заведомо можно найти не более, чем за 100 взвешиваний на чашечных весах без гирь, при этом каждую монету нельзя взвешивать более двух раз. Найдите наибольшее значение X.

В одном плоском лесу есть бесконечно много деревьев. Расстояние между любыми двумя деревьями - целое число метров.

Рассмотрим три дерева, стояших в точках A, B и C.

Какое минимально возможное положительное значение угла ABC в градусах?

В треугольнике ABC

Через середину M стороны AC провели прямую l перпендикулярно прямой BC. Прямая l пересекает окружность с центром в точке A и проходящую через точку M в точке . Рассмотрим окружность, проходящую через точки B и M, центр O которой лежит с точкой A по разные стороны от прямой BC и находится на расстоянии 3 от BC.

Обозначим пересечение этой окружности с прямой l за Q. Найдите площадь треугольника OPM, если PQ = 30.

Описанная окружность  треугольника  касается окружности  в точке . Пусть прямая  пересекает окружность  в точке ; прямая  пересекает окружность  в точке , лежащей с точкой  по разные стороны от прямой , и точке . Касательная к окружности  в точке  пересекает отрезок  в точке , прямая  пересекает окружность  в точке . Найдите величину (в градусах) , если , , .

Вне окружности  с центром O выбрана точка P. Из точек пересечения прямой PO и окружности , дальнюю от P точку обозначим за A, AP = 200. Через точку P проведена прямая l (не проходящая через O), пересекающая в точках B и C, ближней и дальней от P соответственно. Описанная окружность треугольника ABO пересекается с l в точке , а описанная окружность треугольника ACO пересекается с l в точке , причем E лежит между точками B и C, AD = 250, AE = 90. Найдите радиус окружности .

Прямая перпендикулярная хорде сегмента, делит хорду в отношении 1:4, а дугу - в отношении 1:2. Найти косинус центрального угла, опирающегося на эту дугу.

В остроугольном треугольнике ABC на стороне BC как на диаметре построили окружность O. Через точку P на стороне AB перпендикулярно AB провели прямую, пересекающую AC в точке Q, причем |AP| = 10 и площадь треугольника APQ в 4 раза меньше площади треугольника ABC. Найдите длину отрезка касательной AT, проведенной из точки A к окружности O.

В треугольнике ABC известны длины всех его сторон: |AB| = 21, |BC| = 42, |CA| = 35. Из точек B и C опущены высоты BD и CE, F точка пересечения прямых BD и CE. Прямая, проходящая через центр вписанной окружности треугольника ABC и перпендикулярная BC, пересекает биссектрису угла BFC в точке G. Из G на BF опущена высота GH. Найдите |FH|².