ИНТЕГРАЛ × XY = ZZZZZZZZZ

Замените одинаковые буквы на одинаковые цифры так, чтобы равенство было верным.

И, Н, Т, Е, Г, Р, А, Л – 8 различных цифр,

X, Y, Z – произвольные цифры (необязательно различные, и необязательно отличные от всех цифр первой восьмёрки).

Найдите количество решений.

(Ведущие нули разрешены: любая буква может принимать значение 0; равенство типа: 02 + 0003 = 005 считается ВЕРНЫМ)

Пусть x, y и z – такие действительные числа x > 1, y > 1, z > 1, что выполнены следующие равенства: 

Найдите значение произведения xyz.

В прямоугольном треугольнике АВС с целочисленными катетами АС и ВС (|AC|>|BC|) вписана окружность с целочисленным радиусом. Касательный к окружности отрезок DE, параллельный катету ВС, создает прямоугольный треугольник ADE. В него вписана окружность с целочисленным радиусом,  меньшим от начального на 2. Найти наибольшую целочисленную площадь треугольника АВС. 

Даны два треугольника. Один из них имеет стороны 10, 7, 15 и соответствующие углы α, β, γ.

Другой – это треугольник ABC с углами A=85°, B=40°, C=55°.

Кривая L₁ это геометрическое место точек, из которых треугольник ABC виден под углом β. Она изображена на рисунке зелёным цветом.

Кривая L₂ это геометрическое место точек, из которых треугольник ABC виден под углом α. Она изображена на рисунке красным цветом. Известно, что длина кривой L₁ равна 70. Найдите длину кривой L₂.

В квадрате ABCD c площадью 40 окружность проходит через вершину D, центр квадрата и середину стороны АВ так, что вершина А находится в круге. Найти площадь круга, если π=3,14. Ответ введите с точностью до одного знака после запятой.

В квадрате ABCD в середине стороны ВС отмечена точка М. Отрезок АМ является малым катетом треугольника АМЕ. Точка Е является точкой пересечения двух прямых, одной из которых принадлежит больший катет АЕ, другой принадлежит гипотенуза МЕ, являющаяся продолжением отрезка MD в направлении D. Найти площадь квадрата при длине катета |АЕ|=20.

Внутри квадрата ABCD со стороной 1 находится точка P на расстоянии 4/7 от стороны AB и на расстоянии 3/11 от стороны AD.

K – точка пересечения медиан треугольника ABP,
L – точка пересечения медиан треугольника BCP,
M – точка пересечения медиан треугольника CDP,
N – точка пересечения медиан треугольника DAP.

Найдите площадь четырёхугольника KLMN.

Точки A и B лежат на разных ветвях гиперболы, заданной уравнением y = 1/x.  Пусть A_x и A_y – проекции точки A на координатные оси, а Bx и By – проекции точки B на координатные оси. Площадь треугольника AB_xB_y равна 111/20. Найдите площадь треугольника BA_xA_y.

Доказать, что если a, b и c - стороны треугольника, то уравнение
b²x²+(b²+c²-a²)x+c²=0
не имеет действительных корней. 

Перед вами квадратная сетка из 6×6 точек, и на ней – пример замкнутой ломаной, которая обладает следующими свойствами:

• она проходит строго по линиям сетки;
• она проходит ровно по одному разу через каждую точку сетки.

Легко видеть, что суммарная длина её вертикальных звеньев больше суммарной длины её горизонтальных звеньев.

А для каких квадратных сеток из N×N точек в пределах 2≤Ν≤13, существует замкнутая ломаная, у которой выполняются описанные выше свойства, а также суммарная длина её вертикальных звеньев равна суммарной длине её горизонтальных звеньев?

В качестве ответа введите строку из чисел – подходящих N (по возрасстанию). Например, если подходящими являются только сетки 2×2 и 13×13, то ответ выглядит так: 213.