Докажите, что последовательность

имеет предел, найдите его и введите в качестве ответа с точностью до 6 знаков после запятой.

Фигура вертушка – это объединение квадрата и четырех его половинок.

Пользуясь только циркулем, постройте вершины квадрата, равновеликого этой вертушки за наименьшее число операций. В ответе укажите это число. Уточнение: за одну операцию можно провести окружность (дугу окружности).

В координатной плоскости построены графики функций y = x² – 2 и y = 1/( x² – 2). Рассмотрим квадраты, все вершины которых лежат на этих графиках, а стороны параллельны осям координат. Сколько существует таких квадратов, для которых ось Oy является осью симметрии. 

В числовом примере k·ХОД + n·ШАХ = МАТ трехзначные числа записаны буквами русского алфавита, причем разным буквам соответствуют разные цифры, одинаковым буквам – одинаковые цифры. Латинские буквы k и n – это независимые числовые коэффициенты, к ним не относится вышеуказанное условие. Найдите натуральные числа k и n такие, что сумма k + n наибольшая и укажите ее в ответе.

По кругу в некотором порядке расставлены натуральные числа от 1 до 2025.

В каждой паре соседних чисел нашли сумму. Множество этих сумм упорядочили по возрастанию. Оказалось, что в этом множестве есть M подряд идущих натуральных чисел. Найдите наибольшее значение M.

Точки A и B лежат на разных ветвях гиперболы, заданной уравнением y = 1/x.  Пусть A_x и A_y – проекции точки A на координатные оси, а Bx и By – проекции точки B на координатные оси. Площадь треугольника AB_xB_y равна 111/20. Найдите площадь треугольника BA_xA_y.

В координатной плоскости расположено множество гипербол вида |xy| = k  и множество окружностей вида x² + y² = 2k. В обоих формулах натуральное число k пробегает все значения от 1 до 55. На сколько частей все эти линии делят координатную плоскость?

С помощью равносторонних треугольников нарисованы две «растущие» ёлочки.

Треугольники «вписаны» в угол так, что две вершины каждого треугольника лежат на сторонах угла, а третья вершина лежит на биссектрисе этого угла. Площади первого и второго треугольников снизу соответственно равны 121 и 81. На ёлочке слева каждый следующий треугольник пересекается с предыдущим по треугольнику площади 1, на ёлочке справа каждый следующий треугольник пересекается с предыдущим по треугольнику площади 4. Продолжая многократно такой процесс рисования, убеждаемся, что ёлочки растут.  Как высоко они вырастут? В ответе укажите отношение высоты меньшей ёлочки к высоте большей.