Имеются двусторонняя линейка и окружность, радиус которой больше ширины линейки. За одну операцию можно либо провести прямую, либо две параллельные прямые, используя обе стороны линейки. За какое минимальное количество операций можно найти центр окружности?

На плоскости через точку А проведено 29 прямых, через точку B проведено 34 прямых. Каждая прямая первого пучка пересекают каждую прямую второго пучка, и наоборот. Прямых, принадлежащих обоим пучкам, нет. На сколько частей делят плоскость все эти прямые?

Например, на рисунке две прямые пучка А и три прямые пучка B делят плоскость на 15 частей.

В бумажном квадрате 7х7 на рисунке вырезан меньший квадрат так, что его вершины находятся в узлах решетки.

Разрежьте эту фигуру на несколько частей и переложите их так, чтобы получился квадрат 7х7 с квадратной дырой в центре, причем стороны квадратной дыры были параллельны сторонам исходного квадрата. Разрезы можно делать любой формы. В ответе укажите наименьшее число частей разрезания.

Девочка пронумеровала черные клетки шахматной доски 8х8 числами от 1 до 32 в натуральном порядке так, как показано на рисунке.

Мальчик собирается пронумеровать числами от 1 до 32 белые клетки этой доски так, чтобы суммы четырех чисел в любом квадрате 2х2 оказались равными. Сколькими различными способами мальчик сможет это сделать? В ответе укажите сумму всех чисел, расположенных на «белой» диагонали всех возможных решений (эти клетки отмечены звездочками).

25 точек расположены в узлах решетки в форме квадрата (рис. слева).

Сколько симметричных маршрутов можно проложить из точки A в точку B по линиям решетки так, чтобы каждый маршрут проходил через все точки и не пересекал себя? На рисунке справа показаны два различных симметричных маршрута.

21 точка расположена в узлах решетки в форме равностороннего треугольника (рис. слева). Сколько замкнутых маршрутов, обладающих поворотной симметрией 3-го порядка, можно проложить по линиям решетки так, чтобы каждый маршрут проходил через все точки и не пересекал себя? Например, на рисунке справа показаны два различных симметричных маршрута на треугольном поле меньшего размера.

Диагонали правильного 12-угольника разбивают его на части, среди которых есть треугольники и четырехугольники. Найдите отношение числа треугольников к числу четырехугольников.

Квадрат 11х11 разбит на единичные квадраты, в котором сначала закрашены клетки средней строки и среднего столбца, далее клетки каждой «четвертушки» закрашены так, что чередуются закрашенные и незакрашенные «уголки».

Сколько закрашенных единичных квадратов в закрашенном таким образом квадрате 111х111?

Из спичек сложена фигура «правильной шестиугольной» формы, при этом спички образуют белые и зеленые треугольники. На рисунке приведена одна из таких фигур, у которой на стороне три белых треугольника.

Она сложена из 57 спичек, которые образуют 43 белых и зеленых треугольников. Сколько спичек потребуется, чтобы сложить такую фигуру, в которой 1333 белых и зеленых треугольников суммарно.

Найдите n-угольник, который можно разрезать на пять частей так, что из пяти полученных частей можно сложить:

а) один квадрат;

б) два квадрата;

в) три квадрата;

г) четыре квадрата;

д) пять квадратов.

Уточним, n-угольник во всех случаях один и тот же, способы разрезания могут отличаться и получаемые при этом квадраты не обязательно равные. В ответе укажите наименьшее n.