Diofant.ru:: Список задач для тренировки ума и продления жизни.

Задачи: Математика

Пожалуйста, не пишите нам, что вы не можете решить задачу.
Если вы не можете ее решить, значит вы не можете ее решить :-)

Пред. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... 40 41 Cлед.

Показывать:

все

фильтр

спрятать информацию

+ЗАДАЧА 784. Бесконечный лес

Задачу решили: 55

всего попыток: 659

Задача опубликована: 31.08.12 08:00

Прислал: TALMON

Источник: Израильская книга "Миспар хазак" ("сильное чи...

Вес: 1

сложность: 1

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: геометрия

решать >>

Комментарии: 1

Лучшее решение:

Angelina

В одном плоском лесу есть бесконечно много деревьев. Расстояние между любыми двумя деревьями - целое число метров.

Рассмотрим три дерева, стояших в точках A, B и C.

Какое минимально возможное положительное значение угла ABC в градусах?

+ЗАДАЧА 798. Ровно четыре решения

Задачу решили: 43

всего попыток: 281

Задача опубликована: 03.10.12 08:00

Прислал: Dremov_Victor

Источник: Корейская математическая олимпиада

Вес: 1

сложность: 1

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: алгебра

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

Angelina

Пусть $f(x) = x^2 -10x + \frac{p}{2}$ . Найдите такое натуральное $p$ , что уравнение $f \circ f \circ f (x) = f(x)$ имеет ровно 4 различных действительных решения.

+ЗАДАЧА 805. Уравнение в целых числах

Задачу решили: 65

всего попыток: 105

Задача опубликована: 19.10.12 08:00

Прислал: Dremov_Victor

Источник: Корейская математическая олимпиада

Вес: 1

сложность: 1

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: алгебра

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

zmerch

Для натуральных чисел a, b, c справедливо равенство

$\cfrac{a^3}{(b + 3)(c + 3)} + \cfrac{b^3}{(c + 3)(a + 3)} + \cfrac{c^3}{(a + 3)(b + 3)} = 7.$

Найдите значение a + b + c.

+ЗАДАЧА 809. Периодическая последовательность

Задачу решили: 46

всего попыток: 61

Задача опубликована: 29.10.12 08:00

Прислал: Dremov_Victor

Источник: Корейская математическая олимпиада

Вес: 1

сложность: 1

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: алгебра

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

levvol

Последовательность целых чисел $\{a_n\}$ такова, что $a_1 = 1$ , $a_2 = 2$ , и для некоторого натурального k выполняется

$a_{n+k} = a_n, \quad n = 1, 2, \ldots$

Также известно, что последовательность $b_n = a_{n+2} - a_{n+1} + a_n$ обладает следующим свойством

$b_{n+1} = \cfrac{1 + b_n^2}{2},\quad n = 1, 2, \ldots$

Найдите значение $\sum \limits_{n = 1} ^{60} a_n$ .

+ЗАДАЧА 817. Минимальное значение

Задачу решили: 87

всего попыток: 132

Задача опубликована: 16.11.12 08:00

Прислал: pvpsaba

Источник: Грузинская национальная олимпиада по математи...

Вес: 1

сложность: 1

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: алгебра

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

Vkorsukov

Найти минимальное значение выражения: x⁸+y⁸-3x²y², х и у - действительные числа.

+ЗАДАЧА 823. Арифметические прогрессии

Задачу решили: 69

всего попыток: 88

Задача опубликована: 30.11.12 08:00

Прислал: nauru

Источник: Кубок Колмогорова

Вес: 1

сложность: 1

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: алгебра

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

Sam777e

Даны две арифметические прогрессии a₁, a₂… и b₁, b₂, …. (арифметическая прогрессия — это последовательность, в которой a_n = a_n–1+d, где d — некоторое число, единое для всей последовательности). Известно, что a₁ = b₁, и для каждого номера i остатки от деления a_i и b_i на i совпадают. Найдите значение выражения a₂₀₁₂- b₂₀₁₂.

+ЗАДАЧА 828. Максимум выражения

Задачу решили: 101

всего попыток: 116

Задача опубликована: 12.12.12 08:00

Прислал: Timur

Вес: 1

сложность: 1

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: алгебра

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

leonid (Леонид Шляпочник)

Найдите максимально возможное значение выражения

x/(x²+3)+y/(y²+3), если x>0, y>0, x·y=1, x,y - действительные числа.

+ЗАДАЧА 832. Универсальный коэффициент

Задачу решили: 67

всего попыток: 101

Задача опубликована: 21.12.12 08:00

Прислал: Timur

Вес: 1

сложность: 1

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: арифметика

, алгебра

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

nellyk

Найдите минимальное натуральное число k такое, что при любых натуральных n, значение многочлена P(n)=7·n³⁷+37·n⁷+4·k·n - делится на 259 без остатка.

+ЗАДАЧА 833. Сегмент

Задачу решили: 62

всего попыток: 203

Задача опубликована: 24.12.12 08:00

Прислал: mckoy

Вес: 1

сложность: 1

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: геометрия

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

Timur

Прямая перпендикулярная хорде сегмента, делит хорду в отношении 1:4, а дугу - в отношении 1:2. Найти косинус центрального угла, опирающегося на эту дугу.