В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 1 проведен отрезок, соединяющий вершину A куба с центром грани A₁B₁C₁D₁. Этот отрезок начинает непрерывно «скользить» своими концами по двум скрещивающимся диагоналям AC и B₁D₁ противоположных граней куба, не меняя своей длины. Двигаясь таким образом, отрезок охватывает объёмную фигуру, изображенную на рисунке.

Найдите площадь проекции S этой фигуры на нижнюю грань куба. В качестве ответа введите [100 000 000*S], где [x] целая часть числа.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 1 проведен отрезок, соединяющий вершину A куба с центром грани A₁B₁C₁D₁. Этот отрезок начинает непрерывно «скользить» своими концами по двум скрещивающимся диагоналям AC и B₁D₁ противоположных граней куба, не меняя своей длины. Двигаясь таким образом, отрезок охватывает объёмную фигуру, изображенную на рисунке.

Найдите площадь проекции S этой фигуры на боковую грань куба. В качестве ответа введите [100 000 000*S], где [x] целая часть числа.

Докажите, что последовательность

имеет предел, найдите его и введите в качестве ответа с точностью до 6 знаков после запятой.

Сани скользят по склону горы вниз без трения (нет потерь энергии) из точки А с координатами (0, 2026) в точку Б с координатами (2026, 0). 

В первом случае сани скользят по склону горы в виде дуги окружности радиуса 2026 с центром в точке О с координатами (2026, 2026), а во втором случае сани скользят по кривой скорейшего спуска.

Найдёте отношение времени спуска саней (из А в Б) в этих двух случаях (меньшее к большему).

Умножьте это отношение на 10⁶, возьмите целую часть этого числа и введите эту целую часть в качестве ответа.

Сани скользят по склону горки вниз без трения(нет потерь энергии) из точки А с координатами(1, 1) в точку О с координатами (0, 0). В первом случае сани скользят по наклонной прямой, а во втором случае по кривой пораболы. В каком случае затрата времени будет меньше. Найти отношении меньшего времени к большему. Ответ укажите в виде десятичной дроби с округлением до третьего знака после запятой.