Рассмотрим квадратную сетку из n² точек, расположенных в виде квадрата с n точками на стороне. Определим f(n) как максимально возможное количество точек этой сетки, не образующих ни один квадрат (любого наклона).

Найдите f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7).

На плоскости дана прямая L и не параллельный ей отрезок AB, который не имеет общих точек с этой прямой. Построить на плоскости с помощью циркуля и односторонней линейки точку M, равноудаленную от точек A и B и прямой L. За одну операцию можно либо провести прямую, либо провести окружность (дугу окружности). За какое минимальное количество операций можно построить точку М?

Даны три попарно касающиеся внешним образом окружности. Построить окружность, которая касается их всех внутренним образом.

Сделайте это геометрической линейкой и евклидовым циркулем за как можно меньшим числом шагов (1 шаг - либо прямая, либо окружность, построенная евклидовым (схлопывающимся) циркулем.

Неперпендикулярные прямые u и v пересекаются в точке M₀. Отличная от неё точка M₁ находится на прямой u.

Рассмотрим последовательность отрезков одинаковой длины M₀M₁, M₁M₂, M₂M₃, M₃M₄, ... и т.д., где местоположения точек M₂, M₃, M₄, и т.д. определим на прямых v и u поочерёдно следующим образом.

• Из нечётной точкм M_2k-1 на прямой u опустим перпендикуляр M_2k-1P_2k-1 на прямую v. Определим точку M_2k на прямой v таким образом, что точка P_2k-1 будет серединой отрезка M_2k-2M_2k.

• Из чётной точкм M_2k на прямой v опустим перпендикуляр M_2kP_2k на прямую u. Определим точку M_2k+1 на прямой u таким образом, что точка P_2k будет серединой отрезка M_2k-1M_2k+1.

Пусть острый угол между прямыми u и v равен α. Определим функцию f(α) как наименьшее натуральное число n, такое, что точка M_n совпадёт с точкой M₀. Если такое число не существует, определим f(α)=-1.

Найдите f(32°)+f(33°).

Замечание. Местоположения некоторых точек могут совпадать.