Решите ребус: ИНТЕГРАЛ × РТ = ААААААААА

Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, а разным – разные. Введите в ответе значение ИНТЕГРАЛ.

ИНТЕГРАЛ × XY = ZZZZZZZZZ

Замените одинаковые буквы на одинаковые цифры так, чтобы равенство было верным.

И, Н, Т, Е, Г, Р, А, Л – 8 различных цифр, 
X, Y, Z – произвольные цифры (необязательно различные, и необязательно отличные от всех цифр первой восьмёрки).

Найдите количество решений.

(Ведущие нули запрещены: И × X × Z ≠ 0)

ИНТЕГРАЛ × XY = ZZZZZZZZZ

Замените одинаковые буквы на одинаковые цифры так, чтобы равенство было верным.

И, Н, Т, Е, Г, Р, А, Л – 8 различных цифр,

X, Y, Z – произвольные цифры (необязательно различные, и необязательно отличные от всех цифр первой восьмёрки).

Найдите количество решений.

(Ведущие нули разрешены: любая буква может принимать значение 0; равенство типа: 02 + 0003 = 005 считается ВЕРНЫМ)

Даны два треугольника. Один из них имеет стороны 10, 7, 15 и соответствующие углы α, β, γ.

Другой – это треугольник ABC с углами A=85°, B=40°, C=55°.

Кривая L₁ это геометрическое место точек, из которых треугольник ABC виден под углом β. Она изображена на рисунке зелёным цветом.

Кривая L₂ это геометрическое место точек, из которых треугольник ABC виден под углом α. Она изображена на рисунке красным цветом. Известно, что длина кривой L₁ равна 70. Найдите длину кривой L₂.

Внутри квадрата ABCD со стороной 1 находится точка P на расстоянии 4/7 от стороны AB и на расстоянии 3/11 от стороны AD.

K – точка пересечения медиан треугольника ABP,
L – точка пересечения медиан треугольника BCP,
M – точка пересечения медиан треугольника CDP,
N – точка пересечения медиан треугольника DAP.

Найдите площадь четырёхугольника KLMN.

Перед вами квадратная сетка из 6×6 точек, и на ней – пример замкнутой ломаной, которая обладает следующими свойствами:

• она проходит строго по линиям сетки;
• она проходит ровно по одному разу через каждую точку сетки.

Легко видеть, что суммарная длина её вертикальных звеньев больше суммарной длины её горизонтальных звеньев.

А для каких квадратных сеток из N×N точек в пределах 2≤Ν≤13, существует замкнутая ломаная, у которой выполняются описанные выше свойства, а также суммарная длина её вертикальных звеньев равна суммарной длине её горизонтальных звеньев?

В качестве ответа введите строку из чисел – подходящих N (по возрасстанию). Например, если подходящими являются только сетки 2×2 и 13×13, то ответ выглядит так: 213.

На треугольной сетке из точек, расположенных в виде равностороннего треугольника, на стороне которого находятся N точек, построена замкнутая ломаная, обладающая следующими свойствами:

• Её звенья лежат строго на линиях сетки, а вершины – в её узлах.

• Она проходит ровно по одному разу через каждый узел сетки.

На рисунке изображён пример такой ломаной при N=5.

При каких значениях N в пределах  2 ≤ N ≤ 30  это возможно?

Введите в ответе сумму этих значений.

Для каждого натурального N≥10 определим f(N) как наименьшее натуральное число, у которого найдутся четыре различных натуральных делителя с суммой N.

Найдите все натуральные числа N≥10, у которых f(N)≥N.

Укажите в ответе сумму всех таких N и соответствующих им f(N).

Какое наименьшее количество перегибов нужно сделать, чтобы разделить бумажный квадрат на 2 части с площадями в отношении 1:2, не имея ничего, кроме самого квадрата?

Найдите сумму натуральных чисел m (2 ≤ m ≤ 40) таких, что за конечное число сгибов бумажного квадрата можно получить 1/m его площади.