Diofant.ru:: Список задач для тренировки ума и продления жизни.

Задачи: Математика

Пожалуйста, не пишите нам, что вы не можете решить задачу.
Если вы не можете ее решить, значит вы не можете ее решить :-)

Пред. 1 2 3 Cлед.

Показывать:

все

фильтр

спрятать информацию

+ЗАДАЧА 212. Окружности на плоскости

Задачу решили: 94

всего попыток: 197

Задача опубликована: 13.09.09 11:18

Прислал: Dremov_Victor

Вес: 1

сложность: 2

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: планиметрия

, комбинаторика

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

0Vlas

Через одну и ту же точку провели 2009 окружностей. На какое наибольшее число частей они могут разбить плоскость?

+ЗАДАЧА 703. Угол

Задачу решили: 61

всего попыток: 162

Задача опубликована: 22.02.12 08:00

Прислал: Dremov_Victor

Источник: Японская математическая олимпиада

Вес: 1

сложность: 2

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: планиметрия

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

Sam777e

Точка М - середина стороны BC треугольника ABC. Известно, что $\angle MAC = 15^\circ$ . Найдите максимальное значение $\angle ABC$ . Ответ дайте в градусах.

+ЗАДАЧА 766. Окружность и касательная

Задачу решили: 35

всего попыток: 82

Задача опубликована: 20.07.12 08:00

Прислал: Dremov_Victor

Источник: Корейская математическая олимпиада

Вес: 1

сложность: 4

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: планиметрия

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

Timur

На окружности $O$ выбраны точки $A$ , $B$ , $C$ , для которых
$AB = 18$ , $\angle ABC = 59^\circ$ , $\angle CAB = 3^\circ$ .
На прямой, касающейся окружности $O$ в точке $A$ , выбраны точки $D$ , $E$ , такие что
$\angle DAC < 90^\circ$ , $DA = 12$ , $AE = 18$ , $DE = 30$ .
Прямые $BD$ и $CE$ пересекают окружность $O$ в точках $K$ и $L$ , прямая $KL$ пересекает прямую $DE$ в точке $P$ , причем точка $E$ лежит между $P$ и $A$ . Найдите длину отрезка $AP$ .

+ЗАДАЧА 768. Вписанный четырёхугольник

Задачу решили: 44

всего попыток: 80

Задача опубликована: 25.07.12 08:00

Прислал: Dremov_Victor

Источник: Корейская математическая олимпиада

Вес: 1

сложность: 3

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: планиметрия

решать >>

Комментарии: 2

Лучшее решение:

Timur

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность $O$ , $AB = 24$ , $AD = 16$ , $\angle BAC = \angle DAC$ . Прямые $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $E$ , $BE = 18$ . Прямая, проходящая через точку $D$ и перпендикулярная $AC$ пересекает окружность $O$ в точке $F(\ne D)$ , прямые $FC$ и $AB$ пересекаются в точке $K$ , $AC$ и $DF$ пересекаются в точке $L$ . Найдите длину отрезка $KL$ .

+ЗАДАЧА 785. НОД биномиальных коэффициентов

Задачу решили: 52

всего попыток: 157

Задача опубликована: 03.09.12 08:00

Прислал: Dremov_Victor

Источник: Корейская математическая олимпиада

Вес: 1

сложность: 1

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: теория чисел

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

leonid (Леонид Шляпочник)

Для натурального числа $k$ обозначим

$a_k = \cfrac{361984!}{k!(361984 - k)!}.$

Найдите наибольший общий делитель чисел $a_1, a_3, a_5, \ldots, a_{361983}$ .

+ЗАДАЧА 788. Целые степени

Задачу решили: 48

всего попыток: 238

Задача опубликована: 10.09.12 08:00

Прислал: Dremov_Victor

Источник: Корейская математическая олимпиада

Вес: 1

сложность: 1

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: теория чисел

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

bbny

Найдите наибольшее натуральное a, для которого существует такое натуральное b, что a^b+2a=b^4a.

+ЗАДАЧА 792. Сумма дробных частей

Задачу решили: 55

всего попыток: 67

Задача опубликована: 19.09.12 08:00

Прислал: Dremov_Victor

Источник: Корейская математическая олимпиада

Вес: 1

сложность: 1

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: теория чисел

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

bbny

Пусть $t_1, t_2, \ldots, t_{1004}$ --- все натуральные числа, меньшие $2012$ и взаимно простые с $2012$ . Найдите значение суммы дробных частей $\sum \limits_{i = 1} ^{1004} \biggl\{\cfrac{523t_i}{2012}\biggr\}.$ (Здесь {x} обозначает дробную часть x, {x}=x-[x], где [x] наибольшее целое число, не превосходящее x (целая часть x).)

+ЗАДАЧА 806. Дробь с факториалами

Задачу решили: 51

всего попыток: 123

Задача опубликована: 22.10.12 08:00

Прислал: Dremov_Victor

Источник: Корейская математическая олимпиада

Вес: 1

сложность: 2

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: теория чисел

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

pvpsaba (Saba Dzmanashvili)

Найдите наименьшее натуральное m, для которого следующее выражение является целым числом:

$180! \left( \cfrac{1}{181} + \cfrac{(-1)^m m!}{m + 181} \right) + \cfrac{1}{181} + \cfrac{1}{m + 181}.$

+ЗАДАЧА 990. Квадрат стороны

Задачу решили: 73

всего попыток: 100

Задача опубликована: 27.12.13 08:00

Прислал: Dremov_Victor

Источник: Корейская математическая олимпиада

Вес: 1

сложность: 1

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: планиметрия

решать >>

Комментарии: 0

В треугольнике ABC провели биссектрису СD. Прямая, параллельная CD и проходящая и через точку B, пересекает продолжение AC в точке E. Известно, что |AD| = 4, |BD| = 6, |BE| = 15. Найдите |BC|².

+ЗАДАЧА 1000. Из нулей и единиц

Задачу решили: 101

всего попыток: 122

Задача опубликована: 20.01.14 08:00

Прислал: Dremov_Victor

Источник: Корейская математическая олимпиада

Вес: 1

сложность: 1

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: теория чисел

решать >>