Квадрат 11х11 разбит на единичные квадраты, в котором сначала закрашены клетки средней строки и среднего столбца, далее клетки каждой «четвертушки» закрашены так, что чередуются закрашенные и незакрашенные «уголки».

Сколько закрашенных единичных квадратов в закрашенном таким образом квадрате 111х111?

Из спичек сложена фигура «правильной шестиугольной» формы, при этом спички образуют белые и зеленые треугольники. На рисунке приведена одна из таких фигур, у которой на стороне три белых треугольника.

Она сложена из 57 спичек, которые образуют 43 белых и зеленых треугольников. Сколько спичек потребуется, чтобы сложить такую фигуру, в которой 1333 белых и зеленых треугольников суммарно.

Найдите n-угольник, который можно разрезать на пять частей так, что из пяти полученных частей можно сложить:

а) один квадрат;

б) два квадрата;

в) три квадрата;

г) четыре квадрата;

д) пять квадратов.

Уточним, n-угольник во всех случаях один и тот же, способы разрезания могут отличаться и получаемые при этом квадраты не обязательно равные. В ответе укажите наименьшее n.

Две равные окружности с центрами O₁ и O₂ расположены так, что центр одной из них лежит на другой окружности, точки A и B - общие точки этих окружностей. На бо́льшей дуге AB окружности с центром O₂ отмечена точка M так, что |AM| = 33√3 и |BM| = 3√3. Найдите расстояние между точками O₁ и M.