Стороны правильного треугольника со стороной n, где n∈N, разделены точками на единичные отрезки. На сколько частей делят плоскость всевозможные прямые, параллельные его сторонам и проходящие через точки разделения, если n=100?

На рисунке изображены эти прямые для треугольника со стороной n=4. Они делят плоскость на 34 части.

Стороны правильного треугольника со стороной n, где n∈N, разделеныточками на единичные отрезки. На сколько частей делят плоскость стороны треугольника и всевозможные прямые, параллельные его сторонам и проходящие через точки разделения, если n=100?

На рисунке изображены эти прямые для треугольника со стороной n=4. Они (и стороны треугольника) делят плоскость на 43 части.

Найдите количество частей, на которые разбивается пятимерное вещественное пространство гиперплоскостями

x₁=0, x₂=0, x₃=0, x₄=0, x₅=0,
x₁=1, x₂=1, x₃=1, x₄=1, x₅=1,
x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=1,
x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=2.

Определить сумму всех натуральных чисел x, для которых число 1 + x + x² + x³ + x⁴ + x⁵ + x⁶ + x⁷ является степенью простого числа.

Действительные отличные от нуля числа x, y таковы, что
x * (4^x - 2^y)/(4^x + 2^y) = y * (4^y - 2^x)/(4^y + 2^x). Найти |x|/|y|.

Определить сумму всех целых положительных чисел n < 1000 таких, что  из n прямоугольников с размерами 1×n, 2×n, 3×n, ..., n×n можно cложить квадрат. (Прямоугольники нельзя накладывать друг на друга.)

Рассмотрим всевозможные замкнутые цепочки правильных n-угольников одинакового размера, центры которых лежат на одной окружности (образуя некоторый правильный многоугольник), и каждые два последовательных многоугольника имеют одну общую сторону. Например, при n=8 существуют ДВЕ такие цепочки.

Однако, коллега aaa_uz выдвинул интересную идею о расширении определения таких замкнутых цепочек, используя дополнительные "витки обхода": в случае не замыкания цепочки одним витком обхода, продолжать добавлять новые n-угольники (залезая на старые), пока цепочка не замкнётся: последний n-угольник будет иметь общую сторону с первым.

В случае нескольких витков обхода центры n-угольников образуют самопересекающуюся замкнутую ломаную ("звезду"), совершая определённое количество витков обхода вокруг центра цепочки. При n=8 существует ровно ОДНА такая цепочка. Она использует ТРИ витка обхода. Всего существует ТРИ цепочки 8-угольников в расширенном определении:

Обозначим f(n) суммарное количество витков обхода всех цепочек n-угольников. Таким образом, f(8) = 1+1+3 = 5. Найдите f(10403).

a/b + b/c + c/a=3,
b/a + c/b + a/c=2.
(a/b)³ + (b/c)³ + (c/a)³=?

На рисунке изображены две равные фигуры: слева желтая фигура, сложенная из 18 желтых U-пентамино, справа – зеленая фигура, сложенная из 30 зеленых I-тримино, употребив таким образом 18+30=48 фигурок.

Сложите две равные фигуры, одну желтую, другую зеленую, употребив суммарно наименьшее количество желтых U-пентамино и зеленых I-тримино.

При каком значении параметра P система:

x₁ + 2x₂ + 4x₃ + 8x₄ + 8x₅ = 16
x₁ + 3x₂ + 9x₃ + 27x₄ + 24x₅ = 81
x₁ + 4x₂ + 16x₃ + 64x₄ + 56x₅ = 256
x₁ - 3x₂ + 9x₃ - 27x₄ + P*x₅ = 81
x₁ - 2x₂ + 4x₃ - 8x₄ - 16x₅ = 16

не имеет решения?