Обозначим через N(i) наименьшее натуральное число n,  факториал которого n! делится на (i!)^1234567890 .

Сумма N(i) для всех составных натуральных i, не превышающих 1000, равна 520804933959105.

Найдите сумму N(i) для всех составных натуральных i, не превышающих 1 000 000. В качестве ответа укажите 18 младших разрядов результата.

Несколько комнат последовательно соединены автоматическими дверями, как показано на рисунке.

Двери открывают с помощью карт доступа. При этом каждую карту можно использовать лишь однажды: когда вы проходите в комнату, двери за вами автоматически закрываются, а карта не возвращается. Аппарат в начале маршрута может выдать вам в любое время любое количество карт без ограничений, однако система слежения не позволяет иметь на руках более трех карт одновременно. При нарушении этого правила срабатывает сигнал тревоги, а все двери запираются навсегда. Поэтому если вы возьмете при входе три карты и пойдете прямо к выходу, то в комнате №3 у вас карт не останется, и вы окажетесь в ней заперты с обеих сторон.

К счастью, в каждой комнате есть сейф, куда можно складывать карты в любом количестве.

Пользуясь этими сейфами, вы сможете достичь выхода. Например, вы можете войти в комнату № 1, использовав одну карту, положить вторую карту в сейф, а с помощью третьей карты вернуться к началу маршрута. Получив там в аппарате еще три карты, вы используете одну, чтобы войти в комнату №1 и взять там из сейфа оставленную карту. Теперь у вас в руках снова будет три карты, и этого достаточно, чтобы открыть три оставшиеся до выхода двери. Итак, вы можете пройти анфиладу из трех комнат, использовав всего 6 карт.

6 комнат можно пройти, используя 123 карты и не имея на руках более 3 карт одновременно.

Пусть C - максимальное количество карт, которые можно иметь при себе.

Пусть R - количество комнат, через которые нужно пройти от входа (“Start”) до выхода (“Finish”).

Обозначим через M(C,R) минимальное количество карт, необходимых для прохода через R комнат, имея при себе не более C карт в каждый момент времени.

Например, M(3,6)=123 и M(3,7)=366.

Поэтому ΣM(3,R)=489 при 6≤R≤7.

Можно подсчитать, что ΣM(5,R)=2841 при 1≤R≤15.

Найдите ΣM(5,R) при 1≤R≤60.

Любое натуральное число может быть разбито на слагаемые вида 2ⁱ×3^j, где i,j ≥0, но в этой задаче мы будем рассматривать лишь те разбиения, у которых ни одно слагаемое не кратно другому. В дальнейшем будем называть такие разбиения специальными.

Например, разбиение числа 17 = 2 + 6 + 9 = (2¹×3⁰ + 2¹×3¹ + 2⁰×3²) не будет специальным, поскольку 6 кратно 2. Разбиение 17 = 16 + 1 = (2⁴×3⁰ + 2⁰×3⁰) тоже не специальное, так как 16 кратно 1. У числа 17 есть только одно специальное разбиение, а именно 8 + 9 = (2³×3⁰ + 2⁰×3²).

Некоторые числа имеют несколько специальных разбиений. Например, число 11 имеет два специальных разбиения:

11 = 2 + 9 = (2¹×3⁰ + 2⁰×3²) 

11 = 8 + 3 = (2³×3⁰ + 2⁰×3¹)

Обозначим через P(n) количество специальных разбиений числа n. Так, P(11) = 2.

Можно подсчитать, что сумма простых чисел q<100, для которых P(q)=2 равна 641.

Найдите сумму простых q < 1000000, для которых P(q)=2.

Вообразите бесконечный в оба конца ряд чаш, перенумерованных целыми числами.

В некоторых чашах лежат бобы. Разрешается делать ходы следующего вида: взять два боба из одной чаши и разложить их в две соседние. Игра заканчивается, когда сделать ход невозможно.

В примере на рисунке в две соседние чаши положили 2 и 3 боба, а остальные чаши оставили пустыми. Как видно, такую игру можно закончить за 8 ходов.

Рассмотрим последовательность целых чисел bi следующего вида:

b0 = 0, b1 = 289, b2 = 145

bi = (bi-1 + bi-2 + bi-3) mod 2013,

где x mod y означает остаток от деления x на у.

Пусть количество бобов в двух соседних чашах определяется числами b1 = 289 и b2 = 145, а остальные чаши в начальном положении пусты. В этом случае игру можно закончить за 3419100 ходов.

Подсчитайте, сколько ходов потребуется для завершения игры , если в начальном положении в чашах с номерами от 1 до 1500 лежит b1, b2, ... b1500 бобов, соответственно, а остальные чаши пусты.

Последовательность Голомба {G(n)}  определяют как единственную неубывающую последовательность натуральных чисел, содержащую ровно G(n)  вхождений каждого натурального числа n.
Вот несколько первых значений G(n):

Можно подсчитать, что G(2¹⁰) = 87, G(2²⁰) = 6320, и что ΣG(2ⁿ) = 857297 при 1 ≤ n < 30.

Найдите ΣG(2ⁿ)для 1 ≤ n < 60.

Рассмотрим нечетное число 225 = 3² × 5².
225² = 50625 = 3⁴ × 5⁴ = 9² × 25². Поэтому функция Эйлера φ(50625) = 2 × 3³ × 4 × 5³ = 2³ × 3³ × 5³ .
Итак, число  50625 является квадратом, а φ(50625) является кубом.
Найдите сумму нечетных n, 1 < n < 10¹⁰ , для которых функция Эйлера φ(n²) является кубом натурального числа.

Полем игры из этой задачи является полоска из n клеток, а фишками — монеты.
Одна из этих монет — серебряный доллар — ценная, а остальные — медные — ценности не представляют. Игроки могут совершать ходы двух типов:
1. Сдвинуть любую монету влево на одну или несколько клеток. При этом поставить монету можно только на свободную клетку, и перескакивать через занятые клетки нельзя.
2. Забрать с доски монету, ближайшую к левому краю.
Если ходов первого типа нет, игрок обязан забрать самую левую монету.
Выигрывает тот, кто заберет серебряный доллар.

Выигрышной называется позиция, при которой очередной игрок, правильно выбирая ходы, может обеспечить себе победу независимо от действий второго игрока. Остальные позиции называются проигрышными.
Пусть L(n,c) – количество проигрышных позиций для поля из n клеток, на которое расставляют c медных монет и один серебряный доллар.
Можно проверить, что L(10,3)=150 и L(103,13)= 32792060838490304.
Найдите остаток от деления L(1000003,103) на 1000003.

Возьмем матрицу n×n, выберем из нее n элементов так, чтобы никакие два из них не стояли в одной строке или столбце, и найдем их сумму. Минимальное значение такой суммы будем называть матричной суммой для данной матрицы.
Например, для матрицы:

  7  53 183 439 863
497 383 563  79 973
287  63 343 169 583
627 343 773 959 943
767 473 103 699 303

матричной суммой будет число 1075=7+79+343+343+303.

Найдите матричную сумму для матрицы:

  7  53 183 439 863 497 383 563  79 973 287  63 343 169 583
627 343 773 959 943 767 473 103 699 303 957 703 583 639 913
447 283 463  29  23 487 463 993 119 883 327 493 423 159 743
217 623   3 399 853 407 103 983  89 463 290 516 212 462 350
960 376 682 962 300 780 486 502 912 800 250 346 172 812 350
870 456 192 162 593 473 915  45 989 873 823 965 425 329 803
973 965 905 919 133 673 665 235 509 613 673 815 165 992 326
322 148 972 962 286 255 941 541 265 323 925 281 601  95 973
445 721  11 525 473  65 511 164 138 672  18 428 154 448 848
414 456 310 312 798 104 566 520 302 248 694 976 430 392 198
184 829 373 181 631 101 969 613 840 740 778 458 284 760 390
821 461 843 513  17 901 711 993 293 157 274  94 192 156 574
 34 124   4 878 450 476 712 914 838 669 875 299 823 329 699
815 559 813 459 522 788 168 586 966 232 308 833 251 631 107
813 883 451 509 615  77 281 613 459 205 380 274 302  35 805

Запишем число 57 в системах счисления по основанию 4 и 28:

57₁₀=321₄=21₂₈

В обоих случаях 

• последней цифрой оказалась единица, 
• цифры в записи числа убывают, 
• каждая последующая цифра меньше предыдущей на единицу. 

При выполнении этих условий будем говорить, что число имеет специальный вид в данной системе счисления.

Так, число 57 имеет специальный вид в системах счисления с основаниями 4 и 28.

Существует пять натуральных чисел 1<n<500, имеющих специальный вид хотя бы в двух системах счисления, а именно 57, 121, 209, 321 и 457. Их сумма равна 1165.

Найдите сумму n (1<n<10¹²), имеющих специальный вид хотя бы в двух системах счисления.

В этой задаче мы будем рассматривать натуральные числа, имеющие ровно три простых делителя. Например, число 240 имеет простые делители 2,3 и 5. Это наибольшее число, не превышающее 250, имеющее эти три простых делителя и не имеющее других.

Для различных простых чисел p, q и r обозначим через M(p,q,r,N) наибольшее натуральное число, не превышающее N, которое делится на p, q и r, но не имеет других простых делителей. Если таких чисел нет, будем считать, что M(p,q,r,N)=0.

Например:

• M(2,3,5,250)=240.
• M(2,3,7,250)=168, а не 210, поскольку число 210 имеет 4 простых делителя.
• M(3,7,13,250)=0, поскольку нет натуральных чисел, не превышающих 250, которые делятся на 3, 7 и 13.

Пусть S(N) – сумма различных значений M(p,q,r,N) для всех сочетаний p, q и r. Так, S(250)= 4588.

Найдите  S(10 000 000).