Назовем пифагоровым многоугольником выпуклый многоугольник, обладающий следующими свойствами:

• Он имеет не менее  трех вершин
• Никакие три его вершины не лежат на одной прямой
• Все вершины имеют целые координаты
• Все стороны многоугольника имеют целочисленную длину

Обозначим через Q(n) количество различных пифагоровых многоугольников, периметр которых равен n. При этом различными будем считать многоугольники, которые нельзя преобразовать друг в друга путем параллельного переноса.

Тогда Q(4)=1, Q(30) =1242, Q(60) =248282.

Найдите Q(120).

Будем называть четное натуральное число N приемлемым, если все его различные простые делители являются последовательными простыми числами. В частности, все положительные степени 2 являются приемлемыми. Число N=630 приемлемо, поскольку оно четно, а его различные простые множители – 2,3,5,7 – это последовательные простые числа. Число N=660 неприемлемо, поскольку в последовательности его простых множителей – 2,3,5,11 – пропущено простое число 7. 

Если N – приемлемое число, то наименьшее число M>1, для которого N+M – простое число, будем называть псевдо-форчуновым числом приемлемого числа N.

Найдите наименьшее приемлемое N, для которого псевдо-форчуново число равно 97.

Для натурального числа k обозначим через d(k) сумму его десятичных цифр. Например, d(42) = 4+2 = 6.

Обозначим через S(n) количество натуральных чисел k < 10ⁿ, таких что 

• k делится на 69;
• d(k) = 69. 

Можно подсчитать, что S(9) = 5464, и S(20) = 36035277144875036.

Найдите остаток от деления S(20¹²) на 10⁹.

Назовем натуральное число n мощным, если для его любого простого делителя p число n делится также на p².

Назовем натуральное число n точной степенью, если оно является степенью другого натурального числа.

Назовем натуральное число n ахиллесовым, если оно мощное, но не является точной степенью. Например, числа 864 = 2⁵•3³ и 1800 = 2³•3²•5² — ахиллесовы.

Назовем натуральное число S сильно ахиллесовым, если и S, и φ(S) — ахиллесовы.  Здесь φ(S) означает функцию Эйлера. 

Например, число 864 — сильно ахиллесово число, поскольку φ(864) = 288 = 2⁵•3², а число 1800 — ахиллесово, но не сильно ахиллесово, так как φ(1800) = 480 = 2⁵•3¹•5¹.

Существует 2 трехзначных и 5 четырехзначных сильно ахиллесовых чисел, а восьмизначных насчитывается 396.

Найдите количество 18-значных сильно ахиллесовых чисел.

Рассмотрим бесконечную строку S, состоящую из записанных подряд натуральных чисел в десятичной записи:

S =1234567891011121314151617181920212223242...

Ясно, что десятичная запись каждого натурального числа n встретится в строке S бесконечно много раз. Будем отмечать, где именно встретились такие вхождения. Например, число 12 первый раз встретится, начиная с позиции 1 строки S, а второй раз — с позиции 14, и так далее.

Обозначим через f(n) номер позиции в строке S, с которого начинается n-ое вхождение числа n. Например, f(1)=1, f(5)=81, f(11)=235, а f(7780)=111111365.

Найдите ∑f(11^k), где 1≤k≤6.

Сэм и Макс решили сделать из электронных часов прибор для демонстрации последовательности математических вычислений. Для испытания они запрограммировали его на расчет однозначной суммы цифр натуральных чисел. Напомним, что для вычисления однозначной суммы цифр суммируют все десятичные цифры числа, затем все десятичные цифры результата, и так далее, пока не получится однозначное число.

Когда в прибор передают очередное число, оно отображается индикатором, затем отображаются все промежуточные значения, и, наконец, - результат.

Например, если взять число 137, индикатор покажет последовательность "137"→"11"→"2", а затем погаснет до прихода нового числа.

Каждая цифра на индикаторе состоит из нескольких отрезков, как показано на рисунке.

Например, цифра "8" использует семь отрезков – четыре вертикальных и три горизонтальных, цифра "1" состоит из двух вертикальных, а именно, правого верхнего и правого нижнего, а цифра "4" – из четырех отрезков: левого верхнего, правого верхнего и правого нижнего вертикальных и горизонтального, лежащего посередине.

Индикатор потребляет электроэнергию, только когда отрезки включаются или выключаются. Так, включение или выключение числа 2 требует пяти единиц энергии, а числа 7 – четырех единиц энергии.

Сэм и Макс предложили разные конструкции прибора.

Работа прибора Сэма показана на картинке слева. Когда  этот прибор получает число 137, оно отображается на индикаторе, затем полностью гаснет, затем прибор показывает число 11, которое также гаснет, и, наконец, загорается число 2, которое тоже гаснет

В таблице приведен расчет энергопотребления прибора Сэма для числа 137.

"137":(2 + 5 + 4) ?× 2 = 22 переключений ("137" включается и выключается).

"11":(2 + 2) × 2 = 8 переключений ("11" включается и выключается).

"2":(5) × 2 = 10 переключений ("2" включается и выключается).

Всего получается 40 переключений и, соответственно, тратится 40 единиц энергии.

Прибор Макса (изображен справа) работает по-другому. Он не выключает каждый раз весь индикатор, а выбирает только те отрезки, которые не понадобятся для следующего числа.

Вот, как он будет работать с числом 137:

"137":2 + 5 + 4 = 11 переключений (включение трех цифр числа "137"), 7 переключений (выключение отрезков, не нужных для числа "11"). 0 переключений (число "11" уже и так горит)

"11":3 переключения (выключение первой единички и нижней части второй единички; верхняя часть остается гореть, поскольку она нужна для цифры "2").

"2":4 переключения (включение оставшихся отрезков цифры "2"), 5 переключений (выключение цифры "2").

Итого: 30 переключений.

Понятно, что прибор Макса тратит меньше энергии. Так, при подсчете однозначной суммы цифр для числа 137 экономия составляет 10 единиц энергии.

Найдите общую экономию энергии при подсчете однозначной суммы цифр для всех простых чисел, не превышающих  2×10⁷.

Обозначим через N(i) наименьшее натуральное число n,  факториал которого n! делится на (i!)^1234567890 .

Сумма N(i) для всех составных натуральных i, не превышающих 1000, равна 520804933959105.

Найдите сумму N(i) для всех составных натуральных i, не превышающих 1 000 000. В качестве ответа укажите 18 младших разрядов результата.

Несколько комнат последовательно соединены автоматическими дверями, как показано на рисунке.

Двери открывают с помощью карт доступа. При этом каждую карту можно использовать лишь однажды: когда вы проходите в комнату, двери за вами автоматически закрываются, а карта не возвращается. Аппарат в начале маршрута может выдать вам в любое время любое количество карт без ограничений, однако система слежения не позволяет иметь на руках более трех карт одновременно. При нарушении этого правила срабатывает сигнал тревоги, а все двери запираются навсегда. Поэтому если вы возьмете при входе три карты и пойдете прямо к выходу, то в комнате №3 у вас карт не останется, и вы окажетесь в ней заперты с обеих сторон.

К счастью, в каждой комнате есть сейф, куда можно складывать карты в любом количестве.

Пользуясь этими сейфами, вы сможете достичь выхода. Например, вы можете войти в комнату № 1, использовав одну карту, положить вторую карту в сейф, а с помощью третьей карты вернуться к началу маршрута. Получив там в аппарате еще три карты, вы используете одну, чтобы войти в комнату №1 и взять там из сейфа оставленную карту. Теперь у вас в руках снова будет три карты, и этого достаточно, чтобы открыть три оставшиеся до выхода двери. Итак, вы можете пройти анфиладу из трех комнат, использовав всего 6 карт.

6 комнат можно пройти, используя 123 карты и не имея на руках более 3 карт одновременно.

Пусть C - максимальное количество карт, которые можно иметь при себе.

Пусть R - количество комнат, через которые нужно пройти от входа (“Start”) до выхода (“Finish”).

Обозначим через M(C,R) минимальное количество карт, необходимых для прохода через R комнат, имея при себе не более C карт в каждый момент времени.

Например, M(3,6)=123 и M(3,7)=366.

Поэтому ΣM(3,R)=489 при 6≤R≤7.

Можно подсчитать, что ΣM(5,R)=2841 при 1≤R≤15.

Найдите ΣM(5,R) при 1≤R≤60.

Любое натуральное число может быть разбито на слагаемые вида 2ⁱ×3^j, где i,j ≥0, но в этой задаче мы будем рассматривать лишь те разбиения, у которых ни одно слагаемое не кратно другому. В дальнейшем будем называть такие разбиения специальными.

Например, разбиение числа 17 = 2 + 6 + 9 = (2¹×3⁰ + 2¹×3¹ + 2⁰×3²) не будет специальным, поскольку 6 кратно 2. Разбиение 17 = 16 + 1 = (2⁴×3⁰ + 2⁰×3⁰) тоже не специальное, так как 16 кратно 1. У числа 17 есть только одно специальное разбиение, а именно 8 + 9 = (2³×3⁰ + 2⁰×3²).

Некоторые числа имеют несколько специальных разбиений. Например, число 11 имеет два специальных разбиения:

11 = 2 + 9 = (2¹×3⁰ + 2⁰×3²) 

11 = 8 + 3 = (2³×3⁰ + 2⁰×3¹)

Обозначим через P(n) количество специальных разбиений числа n. Так, P(11) = 2.

Можно подсчитать, что сумма простых чисел q<100, для которых P(q)=2 равна 641.

Найдите сумму простых q < 1000000, для которых P(q)=2.

Вообразите бесконечный в оба конца ряд чаш, перенумерованных целыми числами.

В некоторых чашах лежат бобы. Разрешается делать ходы следующего вида: взять два боба из одной чаши и разложить их в две соседние. Игра заканчивается, когда сделать ход невозможно.

В примере на рисунке в две соседние чаши положили 2 и 3 боба, а остальные чаши оставили пустыми. Как видно, такую игру можно закончить за 8 ходов.

Рассмотрим последовательность целых чисел bi следующего вида:

b0 = 0, b1 = 289, b2 = 145

bi = (bi-1 + bi-2 + bi-3) mod 2013,

где x mod y означает остаток от деления x на у.

Пусть количество бобов в двух соседних чашах определяется числами b1 = 289 и b2 = 145, а остальные чаши в начальном положении пусты. В этом случае игру можно закончить за 3419100 ходов.

Подсчитайте, сколько ходов потребуется для завершения игры , если в начальном положении в чашах с номерами от 1 до 1500 лежит b1, b2, ... b1500 бобов, соответственно, а остальные чаши пусты.