Рассмотрим для каждого натурального n < 10 все числа, в записи которых встречаются все цифры от 1 до n включительно, при этом каждая цифра встречается ровно 1 раз. Например, для n = 4, таким числом является 3124.

Найти среди всех таких чисел максимальное, представимое в виде m²+1, где m - натуральное.

Пусть xn - число, десятичная запись которого состоит из n единиц. Например, x1 = 1, x2 = 11, x3 = 111. Требуется найти сумму квадратов цифр числа xn2 при n = 12478174.

Числа Фибоначчи задаются следующей рекуррентной формулой: f_n+2=f_n+1+f_n. При этом f₀=0, f₁=1. Требуется найти  f_n по модулю 952301267 при n=10¹⁸.

Требуется найти минимальное натуральное число с суммой цифр 123, которое делится на 1237.

Рассмотрим в качестве примера число 8136497052, оно десятизначное и состоит из всех цифр, при этом каждая цифра представлена один раз. Обозначим d_k - цифру, которая находится на k-ом месте.
Будем читать число с конца тройками, замечая одно интересное свойство:

d₈d₉d₁₀=052 делится на 2;
d₇d₈d₉=705 делится на 3;
d₆d₇d₈=970 делится на 5;
d₅d₆d₇=497 делится на 7;
d₄d₅d₆=649 делится на 11;
d₃d₄d₅=364 делится на 13;
d₂d₃d₄=136 делится на 17.

Найдите сумму всех десятизначных чисел, обладающих описанным свойством и состоящих из разных цифр от 0 до 9.

Гексагональные числа, это числа получаемые по формуле n*(2n - 1). Вот первые 12 таких чисел:
1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276
Можно видеть что, H₅ + H₁₁ = H₁₂. Но вот их разность H₁₁ - H₅ = 231 - 45 = 186 - не гексагональное.
Надо найти такую пару H_j и H_k гексагональных чисел, что модуль их разности |H_j - H_k| и сумма H_j + H_k тоже гексагональны. Такая пара не единственна, найдите минимальное значение |H_j - H_k| таких пар.

Гипотеза Гольдбаха, которая до сих пор является нерешённой проблемой, заключается в следующем: 

Любое чётное число большее двух можно представить в виде суммы двух простых чисел.

Оказывается, что для небольших чётных чисел такое представление не только существует, но их существует достаточно много. Например, число 20130 можно представить в виде суммы двух различных простых чисел 512 способами.

Требуется найти наименьшее натуральное чётное число, которое можно представить в виде суммы двух различных простых чисел ровно 1024 способами.

Треугольные числа вычисляются по формуле n*(n+1)/2, вот первые из них: 1, 3, 6, 10, 15, ..., гексагональные - по формуле n*(2n-1): 1, 6, 15, 28, 45, ... и гептагональные - n*(5n-3)/2: 1, 7, 18, 34, 55, ...
Оказывается есть некоторые числа являющиеся одновременно и треугольными, и гексагональными, и гептагональными, например, число 121771.
Найдите следующее такое число.

Рассмотрим натуральные числа, в десятичной записи которых каждая цифра встречается не более двух раз. Расположим их в порядке возрастания: 1, 2, 3, 4, и т.д. Миллионное по счету число будет 1229648. Какое число будет на месте с номером 1012?