Найти минимальное 24-значное число a₁a₂a₃...a₂₄, которое удовлетворяет следующим условиям:

a₁ делится на 1;

a₁a₂ делится на 2;

a₁a₂a₃ делится на 3;

...

a₁a₂a₃...a₂₄ делится на 24.

В куче имеется 10000 камней. Все камни имеют разные веса и все веса выражаются простыми числами последовательно от первого до десятитысячного простого числа. Кучу раскладывают на 28 куч так, чтобы в результате раскладки самая тяжелая куча имела минимальный вес. Укажите этот вес.

Квадрат размером 1024 на 1024 клетки складывается относительно вертикали сначала так, чтобы правый край наложился на левый, а затем относительно горизонтали, чтобы нижний край наложился на верхний. Операция продолжается до тех пор, пока не останется одна клетка. Клетки изначально были пронумерованы числами снизу "змейкой": самый нижний ряд - слева направо, второй ряд - справа налево продолжает нумерацию и так далее до самого верха. Какую клетку нужно отметить, чтобы в результате складывания она оказалась на самом верху?

Вова и Дима играют в числовую угадайку: Вова задумывает число, а Дима пытается его угадать. После каждой попытки Вова сообщает Диме количество угаданных цифр. Например, Вова задумал число 1234, а Дима предположил, что число равно 2036. Вова сообщает ему, что угадана одна цифра. Действительно, цифра 3 стоит в обоих числах на одном и том же месте. О том, что есть еще цифра 2, которая есть в обоих числах, но на разных позициях, Вова Диме не говорит.
Вчера Вова задумал 5-значное число, и вот как проходила игра:
1) Дима: 90342;  Вова: 2 цифры угаданы
2) Дима: 70794;  Вова: 0 цифр угадано
3) Дима: 39458;  Вова: 2 цифры угаданы
4) Дима: 34109;  Вова: 1 цифра угадана
5) Дима: 51545;  Вова: 2 цифры угаданы
Получив эту информацию, Дима сообразил, что для задуманного числа осталось всего четыре возможности: 31348, 31442, 39345, 39542. Тогда Дима сделал еще один ход:
6) Дима: 12531;  Вова: 1 цифра угадана
и определил загаданное число:  39542, поскольку других вариантов не осталось.
А сегодня игру решили усложнить. Теперь Вова загадал 16-разрядное число. Вот протокол игры:

Дима долго думал и нашел все оставшиеся варианты. Найдите их и вы, а в качестве ответа укажите их сумму.

Булеву функцию с булевыми аргументами можно задать при помощи таблицы истинности. Ниже приведены таблицы истинности для трех функций с двумя аргументами: для конъюнкции (AND), для импликации (=>) и для строгой дизъюнкции (XOR).

Подсчитайте, сколько существует различных булевых функций с шестью аргументами τ(a, b, c, d, e, f), для которых выполняется условие
τ(a, b, c, d, e, f) AND τ(b, c, d, e, f, a XOR (b => c)) = 0
при  любых сочетаниях (a, b, c, d, e, f)?

Ним – это игра, в которой двое участников по очереди берут камни, разложенные на несколько кучек. Каждым ходом игрок должен взять из одной кучки один или несколько камней, но хотя бы один – обязательно!

Проигрывает тот, кому камней не досталось, и кто поэтому не может сделать ход.

Мы рассмотрим наиболее популярную версию игры с тремя кучками камней.

Пусть начальная позиция описывается тройкой чисел (n1,n2,n3), где  n1,n2 и n3 - количество камней в каждой из трех кучек.

• Позиция называется выигрышной, если первый игрок, правильно выбрав стратегию, может гарантировать свою победу.
• Позиция называется проигрышной, если первый игрок при правильной игре второго всегда проигрывает.

Например, позиция (0,n,n) – проигрышная для любых n, ибо второй игрок всегда может выравнивать количество камней в двух оставшихся кучках, пока в них что-то остается. По этой же причине позиция (1,2,3) – тоже проигрышная, ибо второй игрок своим ходом всегда может создать позицию вида (0,n,n), например:

Первый игрок: (1,2,1)         Второй игрок: (1,0,1)

Первый игрок: (0,0,1)         Второй игрок: (0,0,0) – победа.

Подсчитайте, сколько существует проигрышных позиций вида (n,2n,3n), где n – натуральное число, не превышающее 10¹².

Как и в стандартной игре Ним, в игре Простой Ним участвуют два игрока, которые по очереди берут камни из трех куч. Каждым ходом игрок может взять из одной кучи некоторое количество камней, если это количество выражается простым числом.

Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход.

Позиция в Простом Ниме характеризуется тройкой неотрицательных целых чисел (a,b,c).

Как обычно, выигрышной позицией считается такая позиция, что при правильной стратегии очередной игрок может обеспечить себе победу. Остальные позиции называются проигрышными.

Можно подсчитать, что при 0≤a≤b≤c≤29 существует 651 проигрышная позиция.

Найдите, сколько существует проигрышных позиций при 0≤a≤b≤c≤20000.

Рассмотрим игру на прямоугольной клетчатой доске. Одна клетка доски не занята, на остальных стоят фишки. Каждым ходом игрок передвигает на свободную клетку одну из соседних (по вертикали или горизонтали) фишек. В начале игры пустая клетка находится в правом нижнем углу, в левом верхнем углу находится красная фишка, а на остальных клетках стоят синие фишки. Цель игры — переместить красную фишку в правый нижний угол за наименьшее количество ходов. На рисунке ниже показана последовательность ходов для доски 2 х 2.

Пусть S(m,n) -минимальное количество ходов, необходимое для перемещения красной фишки в правый нижний угол для доски m х n. Можно проверить, что S(5,4) = 25.

Существует всего 256 различных досок с сторонами m и n, не превышающими 100, для которых S(m,n) является квадратом натурального числа.

Подсчитайте количество досок со сторонами m и n, не превышающими 10¹⁰, для которых S(m,n) является квадратом натурального числа.

Сэм и Макс решили сделать из электронных часов прибор для демонстрации последовательности математических вычислений. Для испытания они запрограммировали его на расчет однозначной суммы цифр натуральных чисел. Напомним, что для вычисления однозначной суммы цифр суммируют все десятичные цифры числа, затем все десятичные цифры результата, и так далее, пока не получится однозначное число.

Когда в прибор передают очередное число, оно отображается индикатором, затем отображаются все промежуточные значения, и, наконец, - результат.

Например, если взять число 137, индикатор покажет последовательность "137"→"11"→"2", а затем погаснет до прихода нового числа.

Каждая цифра на индикаторе состоит из нескольких отрезков, как показано на рисунке.

Например, цифра "8" использует семь отрезков – четыре вертикальных и три горизонтальных, цифра "1" состоит из двух вертикальных, а именно, правого верхнего и правого нижнего, а цифра "4" – из четырех отрезков: левого верхнего, правого верхнего и правого нижнего вертикальных и горизонтального, лежащего посередине.

Индикатор потребляет электроэнергию, только когда отрезки включаются или выключаются. Так, включение или выключение числа 2 требует пяти единиц энергии, а числа 7 – четырех единиц энергии.

Сэм и Макс предложили разные конструкции прибора.

Работа прибора Сэма показана на картинке слева. Когда  этот прибор получает число 137, оно отображается на индикаторе, затем полностью гаснет, затем прибор показывает число 11, которое также гаснет, и, наконец, загорается число 2, которое тоже гаснет

В таблице приведен расчет энергопотребления прибора Сэма для числа 137.

"137":(2 + 5 + 4) ?× 2 = 22 переключений ("137" включается и выключается).

"11":(2 + 2) × 2 = 8 переключений ("11" включается и выключается).

"2":(5) × 2 = 10 переключений ("2" включается и выключается).

Всего получается 40 переключений и, соответственно, тратится 40 единиц энергии.

Прибор Макса (изображен справа) работает по-другому. Он не выключает каждый раз весь индикатор, а выбирает только те отрезки, которые не понадобятся для следующего числа.

Вот, как он будет работать с числом 137:

"137":2 + 5 + 4 = 11 переключений (включение трех цифр числа "137"), 7 переключений (выключение отрезков, не нужных для числа "11"). 0 переключений (число "11" уже и так горит)

"11":3 переключения (выключение первой единички и нижней части второй единички; верхняя часть остается гореть, поскольку она нужна для цифры "2").

"2":4 переключения (включение оставшихся отрезков цифры "2"), 5 переключений (выключение цифры "2").

Итого: 30 переключений.

Понятно, что прибор Макса тратит меньше энергии. Так, при подсчете однозначной суммы цифр для числа 137 экономия составляет 10 единиц энергии.

Найдите общую экономию энергии при подсчете однозначной суммы цифр для всех простых чисел, не превышающих  2×10⁷.

Несколько комнат последовательно соединены автоматическими дверями, как показано на рисунке.

Двери открывают с помощью карт доступа. При этом каждую карту можно использовать лишь однажды: когда вы проходите в комнату, двери за вами автоматически закрываются, а карта не возвращается. Аппарат в начале маршрута может выдать вам в любое время любое количество карт без ограничений, однако система слежения не позволяет иметь на руках более трех карт одновременно. При нарушении этого правила срабатывает сигнал тревоги, а все двери запираются навсегда. Поэтому если вы возьмете при входе три карты и пойдете прямо к выходу, то в комнате №3 у вас карт не останется, и вы окажетесь в ней заперты с обеих сторон.

К счастью, в каждой комнате есть сейф, куда можно складывать карты в любом количестве.

Пользуясь этими сейфами, вы сможете достичь выхода. Например, вы можете войти в комнату № 1, использовав одну карту, положить вторую карту в сейф, а с помощью третьей карты вернуться к началу маршрута. Получив там в аппарате еще три карты, вы используете одну, чтобы войти в комнату №1 и взять там из сейфа оставленную карту. Теперь у вас в руках снова будет три карты, и этого достаточно, чтобы открыть три оставшиеся до выхода двери. Итак, вы можете пройти анфиладу из трех комнат, использовав всего 6 карт.

6 комнат можно пройти, используя 123 карты и не имея на руках более 3 карт одновременно.

Пусть C - максимальное количество карт, которые можно иметь при себе.

Пусть R - количество комнат, через которые нужно пройти от входа (“Start”) до выхода (“Finish”).

Обозначим через M(C,R) минимальное количество карт, необходимых для прохода через R комнат, имея при себе не более C карт в каждый момент времени.

Например, M(3,6)=123 и M(3,7)=366.

Поэтому ΣM(3,R)=489 при 6≤R≤7.

Можно подсчитать, что ΣM(5,R)=2841 при 1≤R≤15.

Найдите ΣM(5,R) при 1≤R≤60.